Nella sezione precedente avete visto come ottenere immagini bidimensionali usando la tecnica della retroproiezione. In questa sezione introdurremo il concetto di una terza categoria di gradienti di campo magnetico chiamati gradienti di codifica di fase e vedremo come questi, uniti ai gradienti di selezione della fetta e ai gradienti di codifica in frequenza, sono al giorno d'oggi usati nell'imaging tomografico di risonanza magnetica basato sulla trasformata di Fourier.
Il gradiente di codifica di fase e' un gradiente del campo magnetico Bo usato per impartire al vettore di magnetizzazione trasversale un angolo di fase specifico. L'angolo di fase dipende dalla localizzazione del vettore di magnetizzazione trasversale.
Per esempio, immaginate di avere tre regioni con spin; il vettore di magnetizzazione trasversale relativo a ciascuno spin sia stato ruotato ad una certa posizione rispetto all'asse delle X.
Ora, i tre vettori hanno lo stesso "chemical shift" e quindi in un campo magnetico uniforme avranno la stessa frequenza di Larmor.
Se un gradiente di campo magnetico e' applicato lungo la direzione X, i tre vettori ruoteranno lungo la direzione del campo magnetico applicato ad una frequenza data dall'equazione di risonanza.
Mentre il gradiente di codifica di fase e' acceso, ciascun vettore di magnetizzazione trasversale ha la sua propria (unica) frequenza di Larmor. Finora, la descrizione della codifica di fase e' la stessa di quella della codifica in frequenza. Vediamo ora le differenze. Se il gradiente nella direzione X viene spento, il campo magnetico esterno subito da ciascuno spin e', per tutti gli scopi pratici, identico. Percio' la frequenza di Larmor di ciascun vettore di magnetizzazione trasversale e' identica.
L'angolo della fase 
di ciascun vettore, d'altra parte, non e' identico. L'angolo della fase e' l'angolo che il vettore di magnetizzazione forma con un asse di riferimento, detto asse Y, al tempo in cui il gradiente di codifica di fase viene spento. Nell'esempio riportato sopra e' possibile distinguere tre differenti angoli della fase.
Come negli esempi relativi al gradiente di codifica in frequenza, se avessimo un modo di misurare la fase dei vettori di rotazione, potremmo loro assegnare una posizione lungo l'asse X. Siamo pronti adesso per spiegare la semplice sequenza usata per ottenere immagini tomografiche con l'uso della trasformata di Fourier.
Uno dei migliori modi per capire una nuova sequenza di imaging e' esaminare il diagramma temporale della sequenza. In questi diagrammi vengono riportati: la radiofrequenza, i gradienti di campo magnetico ed il segnale, in funzione del tempo.
La piu' semplice sequenza per imaging con la trasformata di Fourier contiene un impulso a
90o di selezione della fetta,
un gradiente per la selezione della fetta,
un gradiente per la codifica di fase,
un gradiente per la codifica in frequenza
e un segnale.
Gli impulsi relativi ai tre gradienti sono rappresentativi dell'intensita' (ampiezza) e della durata degli stessi. Il reale diagramma temporale per questa sequenza e' un po' piu' complicato di quello proposto, che ne e' una semplificazione per scopi introduttivi. Il primo evento che ha luogo secondo questa sequenza di imaging e' l'attivazione del gradiente per la selezione della fetta. L'impulso RF per la selezione della fetta e' applicato nello stesso istante.
L'impulso RF per la selezione della fetta e' una "breve e intensa" cessione di energia con un impulso che ha la forma della funzione sinc. Al termine dell'impulso di RF, il gradiente per la selezione della fetta viene spento e viene attivato il gradiente per la codifica di fase. Una volta che il gradiente per la codifica di fase viene spento, viene acceso il gradiente per la codifica in frequenza e viene registrato un segnale. Questo segnale ha la forma di un FID.
La sequenza di impulsi di solito e' ripetuta 128 o 256 volte per raccogliere tutti i dati necessari a produrre un'immagine. Il tempo tra le ripetizioni della sequenza e' chiamato il tempo di ripetizione, TR. Ogni volta che la sequenza viene ripetuta l'intensita' del gradiente di codifica della fase cambia. L'intensita' viene incrementata con un certo "passo" a partire dal valore minimo fino alla massima ampiezza del gradiente. Di seguito riportiamo un esempio di come apparirebbe una sequenza con una codifica di fase a otto passi.
Il gradiente di selezione della fetta e' sempre applicato perpendicolarmente al piano della fetta. Il gradiente di codifica di fase e' applicato lungo uno dei lati del piano dell'immagine mentre il gradiente di codifica in frequenza e' applicato lungo il rimanente lato del piano dell'immagine. La tabella seguente indica le possibili combinazioni dei gradienti di selezione della fetta, di codifica di fase e di codifica in frequenza.
| Gradiente | |||
|---|---|---|---|
| Piano immagine | Posizione fetta | Fase | Frequenza |
| XY | Z | X o Y | Y o X |
| XZ | Y | X o Z | Z o X |
| YZ | X | Y o Z | Z o Y |
Esamineremo ora la sequenza da una prospettiva macroscopica dei vettori di spin. Immaginate un cubo di spin messo in un campo magnetico. Il cubo e' composto da molti elementi di volume, ognuno col suo proprio vettore di magnetizzazione netta. Supponete di voler creare l'immagine di una fetta nel piano XY. Il campo magnetico
Bo sia lungo l'asse Z.
Il gradiente di selezione della fetta e' applicato lungo l'asse Z e gli impulsi RF fanno ruotare solamente quei pacchetti di spin nel cubo che soddisfano la condizione di risonanza. Questi pacchetti di spin sono localizzati, in questo esempio, in un piano XY. La localizzazione del piano lungo l'asse Z rispetto all'isocentro e' data da:
ν / γ Gs
dove
ν
e' la deviazione dalla frequenza νo
( i.e. ν - νo ), Gs l'intensita' del gradiente di selezione della fetta e γ il rapporto giromagnetico.
Gli spin localizzati sopra e sotto questo piano non sono interessati dagli impulsi RF; saranno percio' trascurati per gli scopi di questa presentazione. Per semplificare il resto della presentazione, ci concentreremo su un sottoinsieme 3x3 dei vettori di magnetizzazione netta.
L'immagine di questi spin in questo piano sara' del tipo.
Una volta ruotati nel piano XY questi vettori ruoteranno alla frequenza di Larmor data dal campo magnetico che ognuno stava subendo. Se il campo magnetico fosse uniforme, ognuna delle nove frequenze di precessione sarebbe uguale.
Nella sequenza per imaging, dopo il gradiente di selezione della fetta e' applicato un gradiente di codifica di fase. Assumendo che questo sia applicato lungo l'asse X, gli spin a diverse posizioni lungo l'asse X cominciano a muoversi di moto di precessione a frequenze di Larmor diverse.
Quando il gradiente di codifica di fase e' spento, i vettori di magnetizzazione netta ruotano con ugual frequenza ma possiedono fasi diverse.
La fase e' determinata ora dalla durata e dall'ampiezza degli impulsi del gradiente di codifica di fase.
Terminato l'impulso del gradiente di codifica di fase, viene attivato un impulso del gradiente di codifica in frequenza. In questo esempio il gradiente di codifica in frequenza e' nella direzione -Y. Il gradiente di codifica in frequenza causa una precessione dei pacchetti di spin a velocita' dipendenti dalla loro localizzazione su Y. Ora, fate attenzione al fatto che ognuno dei nove vettori di magnetizzazione netta e' caratterizzato da un unico angolo della fase e un'unica frequenza di precessione.
Se avessimo un modo per determinare fase e frequenza del segnale da un vettore di magnetizzazione netta, potremmo associarlo a uno dei nove elementi.
Una semplice trasformata di Fourier e' in grado di far questo per un singolo vettore di magnetizzazione netta localizzato in qualche punto nello spazio 3x3. Per esempio, se un singolo vettore fosse localizzato a (X,Y) = 2,2, i suoi FID conterrebbero un'onda sinusoidale di frequenza 2 e fase 2. Una trasformata di Fourier di questo segnale produrrebbe un picco a frequenza 2 e fase 2. Sfortunatamente una trasformata di Fourier monodimensionale non e' in grado di far questo in una matrice 3x3, quando piu' di un vettore e' localizzato in una differente posizione lungo la direzione di codifica di fase. Ci vorrebbe un incremento del gradiente di codifica di fase per ciascuna localizzazione nella direzione del gradiente di codifica di fase. Di fatto, abbiamo bisogno di un'equazione per ciascuna incognita. Quindi, se ci sono tre localizzazioni lungo la direzione di codifica di fase, saranno necessari tre intensita' di gradienti di codifica di fase e tre unici FID. Se vogliamo risolvere 256 punti nella direzione della codifica di fase avremo bisogno di 256 differenti intensita' di gradiente di codifica di fase e registreremo 256 differenti FID.
Al fine di ottenere un'immagine o mappa di localizzazione degli spin, i FID o i segnali sopra descritti devono essere trasformati secondo Fourier. I segnali sono prima trasformati secondo Fourier nella direzione X per estrarre le informazioni del dominio delle frequenze e poi nella direzione di codifica di fase per estrarre le informazioni circa la localizzazione nella direzione di applicazione del gradiente di codifica di fase. Per meglio mostrare questi concetti proponiamo alcuni esempi.
Esempio 1:Si abbia un singolo voxel con magnetizzazione netta.
I dati del dominio della fase e del tempo, cui spesso si fa riferimento come "dati grezzi", saranno del tipo:
Osservate che c'e' una sola frequenza di oscillazione nel dominio del tempo. Dovreste anche vedere una frequenza di oscillazione nella direzione della fase. Trasformando secondo Fourier prima nella direzione di codifica della frequenza si ottengono una serie di picchi alla frequenza corrispondente alla localizzazione lungo X del voxel contenente gli spin.
Notate come l'ampiezza dei picchi oscilli guardando dall'alto in basso nella direzione di codifica della fase. Possiamo riaggiustare la nostra prospettiva dei dati per renderlo piu' ovvio.
Trasformando secondo Fourier nella direzione di codifica della fase si ottiene un singolo picco.
La frequenza e la fase di questo picco corrispondono alla localizzazione del voxel con gli spin
Si abbia un singolo voxel con magnetizzazione netta ad una nuova localizzazione secondo la codifica in frequenza, ma con la stessa localizzazione secondo la codifica di fase.
I dati grezzi saranno del tipo:
Osservate che c'e' ancora una sola frequenza di oscillazione nel dominio del tempo ma questa e' differente da quella del primo esempio. Potete anche vedere una frequenza di oscillazione nella direzione della fase. Trasformando secondo Fourier prima nella direzione della codifica di frequenza si ottengono una serie di picchi alla frequenza corrispondente alla nuova localizzazione X del voxel con lo spin.
Notate come l'ampiezza dei picchi oscilli dall'alto in basso nella direzione della codifica di fase. Possiamo riaggiustare la nostra prospettiva dei dati per renderlo piu' ovvio.
Trasformando secondo Fourier nella direzione della codifica di fase si ottiene un singolo picco.
La frequenza e la fase di questo picco corrispondono alla localizzazione del voxel con gli spin
Si abbia un singolo voxel con magnetizzazione netta. La localizzazione secondo la codifica in frequenza sia immutata mentre sia diversa la localizzazione secondo la codifica di fase.
I dati grezzi saranno del tipo:
Osservate che c'e' ancora una frequenza di oscillazione nel dominio del tempo. Potete anche vedere una frequenza di oscillazione nella direzione della fase. Trasformando secondo Fourier prima nella direzione della codifica in frequenza si ottengono una serie di picchi alla frequenza che corrisponde alla localizzazione X del voxel con lo spin.
Notate come l'ampiezza dei picchi oscilli dall'alto in basso nella direzione della codifica di fase. Possiamo riaggiustare la nostra prospettiva dei dati per renderlo piu' ovvio.
Trasformando secondo Fourier nella direzione della codifica di fase si ottiene un singolo picco.
La frequenza e la fase di questo picco corrispondono alla localizzazione del voxel con gli spin
Si abbiano due voxel con magnetizzazione netta nel piano esaminato.
I dati grezzi saranno del tipo:
Notate che c'e' il classico andamento della frequenza di oscillazione nel dominio del tempo che indica piu' di una frequenza. Dovreste riuscire anche a vedere una frequenza di oscillazione nella direzione della fase, indice di due frequenze. Trasformando secondo Fourier nella direzione di codifica in frequenza si ottengono una serie di picchi a due frequenze che corrispondono alle localizzazioni lungo X dei voxel con lo spin.
Notate come l'ampiezza dei picchi oscilli dall'alto in basso nella direzione di codifica della fase. Possiamo riaggiustare la nostra prospettiva dei dati per renderlo piu' ovvio.
Trasformando secondo Fourier nella direzione di codifica della fase si ottengono due picchi.
La frequenza e la fase di questi picchi corrispondono all'ubicazione del voxel con lo spin.
I dati trasformati secondo Fourier sono visualizzabili come immagine convertendo le intensita' dei picchi in intensita' dei pixel dell'immagine tomografica.
Richiamiamo dal Capitolo 5 la relazione tra la frequenza di campionamento, fs e l'ampiezza dello spettro. Questa stessa relazione si applica in questo caso e determina il campo di vista (FOV) nella direzione della codifica in frequenza. Questa relazione presuppone la rivelazione in quadratura della magnetizzazione trasversale.
Per evitare artefatti di ribaltamento, il campo di vista deve essere piu' grande delle dimensioni dell'oggetto da esaminare. Maggiori informazioni sul problema del ribaltamento saranno presentate nella sezione degli artefatti delle immagini.
Il gradiente di codifica di fase tipicamente varia da un valore minimo di - G
max a un valore massimo di Gmax in 128 o 256 incrementi o passi (step) di uguale misura. La relazione tra il FOV e Gmax e'
Gmax dt = N / (2γ FOV)
dove N e' il numero dei passi della codifica di fase. L'integrale
Gmax dt e' calcolato sull'intervallo di tempo in cui il gradiente di codifica di fase e' acceso. La forma dell'impulso del gradiente di codifica di fase e' irrilevante fintantoche' l'area sotto l'impulso e' appropriata.
.
Quando due caratteristiche in un'immagine sono distinguibili, si dicono essere "risolte". L'abilita' di risolvere due caratteristiche in un'immagine di risonanza magnetica (risoluzione) e' una funzione di molte variabili: T2, rapporto segnale/rumore, frequenza di campionamento, dimensione della fetta e dimensione della matrice dell'immagine, per nominarne alcune. La risoluzione e' una misura della qualita' di un'immagine. Quando in un'immagine si riescono a distinguere caratteristiche separate da 1 mm, l'immagine e' detta ad alta risoluzione rispetto ad una dove le caratteristiche non sono distinguibili.
La risoluzione e' inversamente proporzionale alla distanza delle due caratteristiche da distinguere.
E' facile ricavare la relazione tra risoluzione, FOV e numero di pixel (punti) N, di un'immagine. Non riusciremo mai a distinguere due caratteristiche localizzate, l'una rispetto all'altra, a meno di FOV/N, o di un pixel. Potreste pensare che aumentando il numero di punti in un'immagine la risoluzione migliori.
Aumentando il numero di punti diminuira' la dimensione dei pixel, ma non migliorera' la risoluzione. Anche in un'immagine con basso rumore e contrasto ottimale, non potete distinguere due caratteristiche della grandezza di un pixel perche' entra in gioco il T2*.
Un'immagine di risonanza magnetica puo' essere pensata come la convoluzione dello spettro NMR degli spin con la mappa della loro concentrazione spaziale. E' piu' facile rendersi conto di cio' se consideriamo il caso di un'immagine mono dimensionale, h(x), che consiste di un singolo tipo di spin. Se g(x) e' la distribuzione degli spin, f(ν) lo spettro NMR degli spin e f(ν Gx-1 γ-1) lo spettro NMR (in unita' di distanza) in presenza di un gradiente di campo magnetico Gx, allora:
f(ν Gx-1 γ-1)
In base alle considerazioni sulle cosiddette "coppie di Fourier" (Capitolo 5), la massima ampiezza della linea in Hz a meta' altezza, Γ, e'
Confrontate il risultato, h(x), della convoluzione dello spettro NMR f(x) di un tipo di spin con una distribuzione g(x) ottenuta per un corto T2* (ampio Γ)
, con quello di un lungo T2* (stretto Γ)
.
Di conseguenza, la dimensione del pixel dovrebbe essere scelta approssimativamente uguale a
Riportiamo due immagini di una sorgente puntiforme di segnale NMR infinitamente piccola
di cui una con un T2* lungo e l'altra con un T2* corto.
Entrambe le immagini sono state acquisite con una dimensione del pixel inferiore a (π Gx γ T2*)-1.
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