The Basics of MRI

Capitolo 7

PRINCIPI DI IMAGING CON LA TRASFORMATA DI FOURIER



Introduzione

In questo capitolo introdurremo il concetto di una terza categoria di gradienti di campo magnetico chiamati gradienti di codifica di fase e vedremo come questi, uniti ai gradienti di selezione della fetta e ai gradienti di codifica in frequenza, sono al giorno d'oggi usati nell'imaging tomografico di risonanza magnetica basato sulla trasformata di Fourier.

Codifica di fase

Il gradiente di codifica di fase è un gradiente del campo magnetico Bo usato per impartire al vettore di magnetizzazione trasversale un angolo di fase specifico. L'angolo di fase dipende dalla localizzazione, in un determinato istante di tempo, del vettore di magnetizzazione trasversale.

Per esempio, immaginate di avere tre regioni con spin; il vettore di magnetizzazione trasversale relativo a ciascuno spin sia stato ruotato ad una certa posizione rispetto all'asse delle X. Ora, i tre vettori hanno lo stesso "chemical shift" e quindi in un campo magnetico uniforme avranno la stessa frequenza di Larmor.
Se applichiamo un gradiente di campo magnetico lungo la direzione X, i tre vettori ruoteranno lungo la direzione del campo magnetico applicato ad una frequenza data dall'equazione di risonanza.

ν = γ (Bo + x Gx) = νo + γ x Gx

Mentre il gradiente di codifica di fase è acceso, ciascun vettore di magnetizzazione trasversale ha la sua propria (unica) frequenza di Larmor. Finora, la descrizione della codifica di fase è la stessa di quella della codifica in frequenza. Vediamo ora le differenze. Se il gradiente nella direzione X viene spento, il campo magnetico esterno subito da ciascuno spin è, per tutti gli scopi pratici, identico. Perciò la frequenza di Larmor di ciascun vettore di magnetizzazione trasversale è identica.

L'angolo della fase φ di ciascun vettore, d'altra parte, non è identico. L'angolo della fase è l'angolo che il vettore di magnetizzazione forma con un asse di riferimento, detto asse Y, al tempo in cui il gradiente di codifica di fase viene spento. Nell'esempio riportato sopra è possibile distinguere tre differenti angoli della fase.

Come negli esempi relativi al gradiente di codifica in frequenza, se avessimo un modo per misurare la fase dei vettori di rotazione, potremmo loro assegnare una posizione lungo l'asse X. Siamo pronti adesso per spiegare la semplice sequenza usata per ottenere immagini tomografiche con l'uso della trasformata di Fourier.

Imaging tomografico con la trasformata di Fourier

La più semplice sequenza per imaging con la trasformata di Fourier contiene un impulso a 90° di selezione della fetta, un gradiente per la selezione della fetta, un gradiente per la codifica di fase, un gradiente per la codifica in frequenza e un segnale. Gli impulsi relativi ai tre gradienti sono rappresentativi dell'intensità e della durata degli stessi. Il reale diagramma temporale per questa sequenza è un po' più complicato di quello proposto, che ne è una semplificazione per scopi introduttivi. Il primo evento che ha luogo secondo questa sequenza di imaging è l'attivazione del gradiente per la selezione della fetta. L'impulso RF per la selezione della fetta (una "breve e intensa" cessione di energia con un impulso che ha la forma della funzione sinc) è applicato nello stesso istante. Al termine dell'impulso RF, il gradiente per la selezione della fetta viene spento e viene attivato il gradiente per la codifica di fase. Una volta che il gradiente per la codifica di fase viene spento, viene acceso il gradiente per la codifica in frequenza e viene registrato un segnale. Questo segnale ha la forma di un echo o di un FID. La sequenza di impulsi di solito è ripetuta 128 o 256 volte per raccogliere tutti i dati necessari a produrre un'immagine. Il tempo tra le ripetizioni della sequenza è chiamato il tempo di ripetizione, TR. Ogni volta che la sequenza viene ripetuta, cambia l'intensità del gradiente di codifica della fase. L'intensità viene incrementata con un certo "passo" a partire dal valore minimo fino alla massima ampiezza del gradiente. Di seguito riportiamo un esempio di come apparirebbe una sequenza con una codifica di fase a otto passi.

Il gradiente di selezione della fetta è sempre applicato perpendicolarmente al piano della fetta. Il gradiente di codifica di fase è applicato lungo uno dei lati del piano immagine mentre il gradiente di codifica in frequenza è applicato lungo il rimanente lato del piano immagine. La tabella seguente indica le possibili combinazioni dei gradienti di selezione della fetta, di codifica di fase e di codifica in frequenza.

Gradiente
Piano immagine Selezione fetta Fase Frequenza
XY Z X o Y Y o X
XZ Y X o Z Z o X
YZ X Y o Z Z o Y

Esamineremo ora la sequenza da una prospettiva macroscopica dei vettori di spin. Immaginate un cubo di spin messo in un campo magnetico. Il cubo sia composto da molti elementi di volume, ognuno col suo proprio vettore di magnetizzazione netta. Supponete di voler creare l'immagine di una fetta nel piano XY. Il campo magnetico Bo sia lungo l'asse Z. Il gradiente di selezione della fetta è applicato lungo l'asse Z e gli impulsi RF fanno ruotare solamente quei pacchetti di spin nel cubo che soddisfano la condizione di risonanza. Questi pacchetti di spin sono localizzati, in questo esempio, in un piano XY. La localizzazione del piano lungo l'asse Z rispetto all'isocentro è data da:

Z = Δν / γ Gs

dove Δν = (ν - νo), Gs l'intensità del gradiente di selezione della fetta e γ il rapporto giromagnetico. Gli spin localizzati sopra e sotto questo piano non sono interessati dagli impulsi RF; saranno perciò trascurati per gli scopi di questa presentazione. Per semplicità, ci concentreremo su un sottoinsieme di 3x3 vettori di magnetizzazione netta. L'immagine di questi spin in questo piano sarà del tipo. Una volta ruotati nel piano XY questi vettori ruoteranno alla frequenza di Larmor data dal campo magnetico che ognuno di essi stava subendo. Se il campo magnetico fosse uniforme, ognuna delle nove frequenze di precessione sarebbe uguale. Nella sequenza per imaging, dopo il gradiente di selezione della fetta è applicato un gradiente di codifica di fase. Assumendo che questo sia applicato lungo l'asse X, gli spin a diverse posizioni lungo l'asse X cominciano a muoversi di moto di precessione a frequenze di Larmor diverse. Quando il gradiente di codifica di fase viene spento, i vettori di magnetizzazione netta ruotano con ugual frequenza ma possiedono fasi diverse. La fase è determinata dalla durata e dall'ampiezza degli impulsi del gradiente di codifica di fase.

Terminato l'impulso del gradiente di codifica di fase, viene attivato un impulso del gradiente di codifica in frequenza. In questo esempio il gradiente di codifica in frequenza è nella direzione -Y. Il gradiente di codifica in frequenza causa una precessione dei pacchetti di spin a velocità dipendenti dalla loro localizzazione su Y. Ora, si presti attenzione al fatto che ognuno dei nove vettori di magnetizzazione netta è caratterizzato da un unico angolo della fase e un'unica frequenza di precessione. Se avessimo un modo per determinare fase e frequenza del segnale generato da un vettore di magnetizzazione netta, potremmo associarlo a uno dei nove elementi.

Una semplice trasformata di Fourier è in grado di far questo per ogni singolo vettore di magnetizzazione netta localizzato in qualche punto nello spazio 3x3. Per esempio, se un singolo vettore fosse localizzato nel punto (X,Y) = 2,2, i suoi FID conterrebbero una sinusoide di frequenza 2 e fase 2. Una trasformata di Fourier di questo segnale produrrebbe un picco a frequenza 2 e fase 2. Purtroppo, una trasformata di Fourier monodimensionale non è in grado di far questo in una matrice 3x3, quando più di un vettore è localizzato in una differente posizione lungo la direzione della codifica di fase. Sarebbe necessario un incremento del gradiente di codifica di fase per ciascuna localizzazione nella direzione del gradiente di codifica di fase (di fatto, abbiamo bisogno di un'equazione per ciascuna incognita). Quindi, se ci sono tre localizzazioni lungo la direzione della codifica di fase, saranno necessarie tre differenti intensità del gradiente di codifica di fase e tre unici FID. Se si vogliono risolvere 256 punti nella direzione della codifica di fase occorreranno 256 differenti intensità di gradiente di codifica di fase e registreremo 256 differenti FID.

Dai segnali alle immagini

Al fine di ottenere un'immagine o mappa di localizzazione degli spin, i FID o i segnali sopra descritti devono essere trasformati secondo Fourier. I segnali sono prima trasformati secondo Fourier nella direzione della codifica di frequenza per estrarre le informazioni relative alla localizzazione degli spin nel dominio delle frequenze (solitamente l'asse X) e poi nella direzione della codifica di fase per estrarre le informazioni circa la localizzazione nella direzione di applicazione del gradiente di codifica di fase (asse Y). Per meglio mostrare questi concetti proponiamo alcuni esempi.

Esempio 1:

Si abbia un singolo voxel con magnetizzazione netta. I dati del dominio della fase e del tempo, cui spesso si fa riferimento come "dati grezzi", saranno del tipo: Osservate che c'è una sola frequenza di oscillazione nel dominio del tempo. Dovreste anche vedere una frequenza di oscillazione nella direzione della fase. Trasformando secondo Fourier prima nella direzione della codifica in frequenza si ottengono una serie di picchi alla frequenza corrispondente alla localizzazione lungo X del voxel contenente gli spin.

(ν - νo) = γ x Gf

Notate l'andamento oscillante nella direzione della codifica di fase (Y). Trasformando secondo Fourier nella direzione della codifica di fase si ottiene un singolo picco. La frequenza e la fase di questo picco corrispondono alla localizzazione del voxel con gli spin

Esempio 2:

Si abbia un singolo voxel con magnetizzazione netta ad una nuova localizzazione secondo la codifica in frequenza, ma con la stessa localizzazione secondo la codifica di fase. I dati grezzi saranno del tipo: Osservate che c'è ancora una sola frequenza di oscillazione nel dominio del tempo ma questa è differente da quella del primo esempio. Potete anche vedere una frequenza di oscillazione nella direzione della fase. Trasformando secondo Fourier prima nella direzione della codifica in frequenza si ottengono una serie di picchi alla frequenza corrispondente alla nuova localizzazione X del voxel con lo spin.

(ν - νo) = γ x Gf

Notate l'andamento oscillante nella direzione della codifica di fase (Y). Trasformando secondo Fourier nella direzione della codifica di fase si ottiene un singolo picco. La frequenza e la fase di questo picco corrispondono alla localizzazione del voxel con gli spin

Esempio 3:

Si abbia un singolo voxel con magnetizzazione netta. La localizzazione secondo la codifica in frequenza sia immutata mentre sia diversa la localizzazione secondo la codifica di fase. I dati grezzi saranno del tipo: Osservate che c'è ancora una frequenza di oscillazione nel dominio del tempo. Potete anche vedere una frequenza di oscillazione nella direzione della fase. Trasformando secondo Fourier prima nella direzione della codifica in frequenza si ottengono una serie di picchi alla frequenza che corrisponde alla localizzazione X del voxel con lo spin.

(ν - νo) = γ x Gf

Notate l'andamento oscillante nella direzione della codifica di fase guardando dall'alto verso il basso. Trasformando secondo Fourier nella direzione della codifica di fase si ottiene un singolo picco. La frequenza e la fase di questo picco corrispondono alla localizzazione del voxel con gli spin

Esempio 4:

Si abbiano due voxel con magnetizzazione netta nel piano di imaging. I dati grezzi saranno del tipo: Notate che c'è il classico andamento della frequenza di oscillazione nel dominio del tempo che indica più di una frequenza. Dovreste anche vedere un andamento oscillante nella direzione della fase, anch'esso indice di due frequenze. Trasformando secondo Fourier nella direzione della codifica in frequenza si ottengono una serie di picchi a due frequenze che corrispondono alle localizzazioni lungo X dei voxel con lo spin.

(ν - νo) = γ x Gf

Notate l'andamento oscillante nella direzione della codifica di fase (Y). Trasformando secondo Fourier nella direzione della codifica di fase si ottengono due picchi. La frequenza e la fase di questi picchi corrispondono alla localizzazione dei voxel con lo spin.

I dati trasformati secondo Fourier sono visualizzabili come immagine convertendo le intensità dei picchi in intensità dei pixel dell'immagine tomografica.

Richiamiamo dal Capitolo 5 la relazione tra la frequenza di campionamento, fs, e l'ampiezza dello spettro. Questa stessa relazione si applica in questo caso e determina il campo di vista (FOV) nella direzione della codifica in frequenza. Questa relazione presuppone la rivelazione in quadratura della magnetizzazione trasversale.

FOV = fs / γ Gf

Per evitare artefatti di ribaltamento, il campo di vista deve essere più grande delle dimensioni dell'oggetto da esaminare. Maggiori informazioni sul problema del ribaltamento saranno presentate nella sezione degli artefatti delle immagini.

Il gradiente di codifica di fase varia tipicamente da un valore minimo di - Gφmax a un valore massimo di Gφmax in 128 o 256 incrementi o passi (step) di uguale misura. La relazione tra il FOV e Gφmax è

Gφmax dt = N / (2γ FOV)

dove N è il numero dei passi della codifica di fase. L'integrale Gφmax dt è calcolato sull'intervallo di tempo in cui il gradiente di codifica di fase è acceso. Più che la forma dell'impulso del gradiente di codifica di fase è importante che l'area sottesa dall'impulso sia appropriata.

In conclusione, durante un'acquisizione, l'apparecchiatura di risonanza magnetica registra dei segnali, che sono funzione del tempo, nei quali l'informazione sulla posizione degli spin relativa a un piano di imaging 2D è codificata con l'utilizzo di un gradiente di codifica in frequenza e di un gradiente di codifica di fase. Il campionamento dei segnali ad una frequenza fs genera una matrice di dati bidimensionale detta spazio-k. La trasformata di Fourier dello spazio-k fornisce l'immagine di risonanza magnetica.


Esercizi

  1. Due campioni sono localizzati in un campo magnetico a x=0 cm e x=5 cm. Un gradiente di codifica di fase di 1 G/cm è applicato nella direzione +X per 10 ms. Che valore di fase avrà acquisito il campione localizzato a x=5 cm rispetto a quello localizzato a x=0 cm?

  2. Desiderate produrre un'immagine dei nuclei di idrogeno nel piano zx. In quale direzione applichereste i gradienti di selezione della fetta e di codifica di fase e frequenza?

  3. Un particolare tomografo usa un gradiente di codifica in frequenza di 1 G/cm per produrre un'immagine con un FOV di 8 cm. Quale frequenza di campionamento in quadratura dovrebbe essere usata per produrre il FOV specificato nel caso di imaging con nuclei dell'idrogeno?

  4. Desiderate produrre un'immagine con un FOV di 8 cm e un gradiente di codifica di fase a 256 passi. Il più alto gradiente di codifica di fase che potete produrre è 1 G/cm. Che durata dovrà avere il gradiente di codifica di fase?

  5. Dimostrate che: FOV = fs / (γ Gf) .

  6. Due campioni sono localizzati in un campo magnetico a x=0 cm e x=4 cm. Un gradiente di codifica di fase di 2 G/cm è applicato nella direzione +X per 5 ms. Che valore di fase avrà acquisito il campione localizzato a x=4 cm rispetto a quello localizzato a x=0 cm?

  7. State usando una sequenza che applica un gradiente di selezione del piano di imaging nella direzione x, un gradiente di codifica di fase nella direzione z e un gradiente di codifica in frequenza nella direzione y. Che tipo di piano di imaging verrà riprodotto?

  8. Un particolare tomografo usa un gradiente di codifica in frequenza di 2 G/cm e una frequenza di campionamento in quadratura di 32 kHz. Quale FOV è possibile ottenere nel caso di imaging con nuclei dell'idrogeno?

  9. Desiderate produrre un'immagine con un FOV di 4 cm e un gradiente di codifica di fase a 512 passi. Il più alto gradiente di codifica di fase che potete produrre è 2 G/cm. Che durata dovrà avere il gradiente di codifica di fase?


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