Principios Básicos de IRM

Capítulo 5

TRANSFORMADA DE FOURIER



Introducción

La descripción detallada de la transformada de Fourier (FT) se postergó hasta este momento, para que el lector tuviera una mejor apreciación de por qué es necesaria. Una transformada de Fourier es una operación que convierte funciones en el dominio del tiempo al domino de la frecuencia. Una transformada de Fourier inversa (IFT) convierte del dominio de la frecuencia al dominio del tiempo.

El concepto de la transformada de Fourier no es tan difícil de comprender. Recuerde del Chapter 2 Capítulo 2, que la transformada de Fourier es una técnica matemática para convertir datos en el dominio del tiempo a datos en el dominio de la frecuencia, y viceversa. Es posible que usted nunca haya pensado sobre esto, pero el cerebro humano es capaz de desarrollar una transformada de Fourier. Observe la siguiente onda senoidal y escuche la nota musical.

Un músico con perfecta afinación nos dirá que es el do medio (261.63 Hz) de la escala musical. Este músico también podrá decirnos que esta onda senoidal es el primer sol después del do medio (392 Hz),

y que esta onda senoidal es el do a una octava superior del do medio (523.25 Hz).

Algunos pueden distinguir las notas cuando más de una suena en forma simultánea, pero este proceso se torna más dificultoso cuando muchas notas suenan simultáneamente. Haga sonar todas las notas mencionadas al unísono ¿Puede usted escuchar cuáles son las frecuencias que están sonando simultáneamente? ¡La Transformada de Fourier puede! Cambie las amplitudes relativas de las notas ¿Puede usted determinar sus amplitudes relativas mediante su oído? ¡La Transformada de Fourier puede!

El proceso de la Transformada de Fourier (FT) es como el músico que escucha un tono (señal en el dominio del tiempo) y determina qué nota (frecuencia) está sonando. La Transformada de Fourier inversa (IFT) es como el músico que lee las notas (frecuencias) en una partitura musical y las convierte en tonos (señales en el dominio del tiempo).

El Problema de la Frecuencia + y -

Para comenzar nuestra descripción detallada de la FT, evaluemos lo siguiente. Un vector magnetización, comenzando en el eje X+, está rotando alrededor del eje Z en dirección horaria. La representación de Mx en función del tiempo es una onda tipo coseno. Aplicando la Transformada de Fourier, se obtienen sendos picos en +n y -n porque la FT no puede distinguir entre un vector que rota a +n y -n, a partir de los datos suministrados. + and -n

La representación de M y en función del tiempo es una función -seno. Aplicando la Transformada de Fourier, se obtienen sendos picos en +n y - n porque la FT no puede distinguir entre un vector positivo que rota +n y un vector negativo que rota a -n, a partir de los datos suministrados.

La solución es incluir ambas Mx y My en la FT. La FT está diseñada para manejar dos funciones ortogonales denominadas componentes real e imaginaria.

La detección de sólo una de las componentes Mx ó Mx para su inclusión en la FT se denomina detección lineal. Así era el esquema de detección en muchos espectrómetros de RMN antiguos y algunos sistemas de imagen por resonancia magnética. Pero requería que la computadora descartara la mitad de los datos en el dominio de la frecuencia. .

La detección de ambas componentes Mx y Mx se denomina detección en cuadratura y es el método de detección en los modernos espectrómetros y sistemas de imágenes. Es el método de elección ya que así la FT puede distinguir entre +n y -n, y se pueden utilizar todos los datos en el dominio de la frecuencia. .

La Transformada de Fourier

Una FT se define como la integral

Considere a la f(ω) como la superposición de una f(t) con una onda de frecuencia ω.

Esto es fácil de describir si observamos solamente la parte real de f(ω) only.

Consideremos la función de tiempo, f( t ) = cos( 4t ) + cos( 9t ).

Para comprender la FT, examinemos el producto de f(t) por el cos(ωt), para valores de w entre 1 y 10, y luego la sumatoria de los valores de este producto entre 1 y 10 segundos. La sumatoria es evaluada solo para valores de tiempo entre 0 y 10 segundos

ω=1
ω=2
ω=3
ω=4
ω=5
ω=6
ω=7
ω=8
ω=9
ω=10
f(ω)

La Transformada de Fourier inversa (IFT) se describe mejor como la sumatoria del espectro de frecuencias en f(ω),en el dominio del tiempo.

Corrección de Fase

La FT utiliza una función de entrada que consiste en una parte REAL y una IMAGINARIA. Podemos pensar en Mx como la entrada REAL, y en Mx como la entrada IMAGINARIA. La función de salida resultante de la FT tendrá así también una componente REAL y una IMAGINARIA.

Consideremos la siguiente función:

f(t) = e-at e-i2pnt

En la espectroscopia por RMN, la salida real de la FT se toma como el espectro de dominio de la frecuencia. Para obtener un espectro de frecuencias (absorción) estéticamente satisfactorio, vamos a ingresar una función coseno como la parte real y una función seno como la parte imaginaria de la FT. Esto es lo que ocurre si la función coseno se ingresa como la parte imaginaria y el seno como la real.

IEn un experimento ideal de RMN, ninguno de los componentes de frecuencia que conforman la FID que se ha medido presenta corrimiento de fase. En la práctica, durante un experimento real de RMN, se debe aplicar una corrección de fase al espectro de dominio del tiempo o de la frecuencia para obtener un espectro de absorción como la salida real de la FT. Este proceso es equivalente a la transformación de coordenadas descripta en el Capítulo 2

Si la FID medida anteriormente registra un corrimiento de fase de 45º en ambas FIDs, real e imaginaria, se puede utilizar una matriz para transformación de coordenadas con = - 45o. La FIDs corregidas se verán como una función coseno en la componente real y un seno en la imaginaria.

Aplicando la transformada de Fourier a las FIDs corregidas en fase, se obtiene un espectro de absorción como salida de la componente real de la FT. .

El corrimiento de fase también varía con la frecuencia, por lo que el espectro de RMN requiere también correcciones constantes y lineales de la fase de la señal de salida de la FT

= m ν + b

Las correcciones constantes de fase, b, provienen de la incapacidad del espectrómetro de detectar en forma exacta Mx y My. Las correcciones lineales de fase, m, provienen de la incapacidad del espectrómetro de detectar la magnetización transversal de forma inmediata luego del pulso de RF. El siguiente diagrama describe la gran pérdida de fase en una FID de alta frecuencia, cuando la sección amarilla inicial se pierde. Desde el punto de vista práctico, la corrección de fase se aplica en el dominio de la frecuencia y no del tiempo, ya que sabemos que un espectro de frecuencias real está compuesto por solo picos positivos. Por lo tanto, podemos ajustar b y m hasta que todos los picos positivos sean visibles en la señal real de salida de la FT.

En la imagen por resonancia magnética, las señales Mx o My raramente se exhiben. En cambio, se utiliza una señal que es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de Mx y My.

Pares de Fourier

Para comprender mejor como funciona la TF en RMN, es necesario conocer algunos pares de Fourier típicos. Un par de Fourier consta de dos funciones, la forma en el dominio de la frecuencia y la correspondiente función en el dominio del tiempo. Aquí se mencionan algunos pares de Fourier que son útiles en IRM. La amplitud de los pares de Fourier se ha omitido ya que no es relevante en IRM.

Valor constante en el tiempo

Real: cos(2πνt), Imaginario: -sin(2πνt)

Función "comb" (Una serie de funciones delta separadas por un T))

Decaimiento Exponencial e-at for t > 0.

Pulso rectangular que comienza en 0 y dura T segundos.

Función Gaussiana: exp(-at2)

Teorema de la Convolución

Para el profesional de resonancia magnética, el teorema más importante con relación a la Transformada de Fourier es el teorema de la convolución. El teorema de la convolución establece que la FT de la convolución de dos funciones es proporcional al producto de las Transformadas de Fourier individuales, y viceversa.

Si f(ω) = FT( f(t) ) y g(ω) = FT( g(t) )

entonces f(ω) g(ω) = FT( g(t) f(t) ) y f(ω) g(ω) = FT( g(t) f(t) )

Esto es más fácil de entender con gráficos. En la ventana de animación, estamos tratando de encontrar la FT de una onda senoidal que se enciende y apaga. El teorema de convolución nos dice que la FT es una función sinc (seno cardinal) a la frecuencia de la onda senoidal.

Otra aplicación del teorema de la convolución es en la reducción del ruido. Con el teorema de la convolución se puede observar que la convolución de un espectro de RMN con una función Lorentziana es equivalente a la FT de la multiplicación de la señal por una función de decaimiento exponencial en el dominio del tiempo

FT Discreta

En un espectrómetro por resonancia magnética nuclear, el sistema computacional no lee una FID continua, sino más bien una FID que se muestrea a intervalos constantes. Cada dato que conforma la FID tendrá valores discretos de amplitud y tiempo. Por lo tanto, la computadora necesita realizar una FT de una serie de funciones delta que varían en intensidad.

¿Cómo es la FT de una señal representada por una serie de funciones delta? La respuesta se encuentra en el próximo punto pero primero nos detendremos en las relaciones entre los datos muestreados en el dominio del tiempo y el espectro de frecuencia resultante. Un señal temporal de n puntos es muestreada a δt y lleva a tiempo t para ser medido. El correspondiente espectro de frecuencias que produce una FT discreta tiene n puntos, un ancho de banda f, y una resolución δf. Las relaciones entre estas cantidades son las siguientes.

f = (1/δt)

δf = (1/t)

Error de Muestreo

El problema de enrollamiento o artefacto en una imagen de resonancia magnética es la visualización de uno de los lados del objeto evaluado, en el lado opuesto. En términos de un espectro de frecuencia unidimensional, el enrollamiento ocurre cuando un pico de baja frecuencia aparece en el lado incorrecto del espectro

El teorema de la convolución puede explicar por qué este problema resulta de muestrear la magnetización transversal a muy baja velocidad o frecuencia. Primero, observe como se ve la FT de una FID correctamente muestreada Con la detección por cuadratura, el ancho de la imagen es igual a la inversa de la frecuencia de muestreo, o al ancho del recuadro verde en la ventana de animación.

Cuando la frecuencia de muestreo es menor que el ancho espectral o el ancho de banda, tiene lugar el enrollamiento

FT Bidimensional

La transformada de Fourier bidimensional (2-DFT) es una FT que se aplica a un arreglo bidimensional de datos

Consideremos el arreglo bidimensional de datos que aparece en la ventana de animación Estos datos tiene una dimensión t' y una dimensión t''. Primero se aplica una FT en una dimensión y luego en la segunda. El primer conjunto de FT se aplica en la dimensión t' para producir un conjunto de datos ν' por t''. El segundo conjunto de FT se realiza en la dimensión t'' para obtener un conjunto de datos ν' por ν".

En la actualidad, la IRM requiere la utilización de la 2-DFT. En IRM, los datos se obtienen y organizan en un arreglo de dos dimensiones equivalentes a t' y t'', denominado espacio k. A estos datos crudos se les aplica la FT para producir la imagen que es equivalente a los datos ν' por ν'' descriptos anteriormente.


Problemas

  1. ¿Cuál es la transformada de Fourier de una onda senoidal de 63 MHz?

  2. ¿Cuál es la transformada de Fourier de un pulso rectangular de 50 µs?

  3. ¿Cuál es la transformada de Fourier de una onda senoidal de 63 MHz que se enciende durante solo 50 µs?

  4. ¿Cuál es el ancho de la función de la pregunta 3, en Hz y en ppm, cuando la señal es mayor que el 90% de su máximo valor? ¿Por qué este resultado es importante en RMN e IRM?

  5. ¿Qué tasa de muestreo, para detección en cuadratura, se necesita para registrar con precisión la FID de un espectro de RMN cuyo ancho es de 2000 Hz?

  6. ¿Cuál es la transformada de Fourier, para detección en cuadratura, de una onda senoidal de 63 MHz? (Asuma que hay igual cantidad de componentes reales senoidales y componentes imaginarias tipo coseno de 63 MHZ). )

  7. ¿Cuál es la transformada de Fourier de un pulso rectangular de 33 µs de duración?

  8. ¿Cuál es la transformada de Fourier de la onda senoidal de 63 MHz de la Pregunta 1 que se enciende solo durante 33 µs?

  9. ¿Cuál es el ancho de esta función en Hz y en ppm cuando la señal es mayor que el 90% de su valor máximo? ¿Por qué este resultado es importante en RMN e IRM?

  10. ¿Qué tasa de muestreo, para detección en cuadratura, se necesita para registrar con precisión la FID de un espectro de RMN cuyo ancho es de 500 Hz?


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