Es posible que usted nunca haya pensado sobre esto, pero el cerebro humano es capaz de desarrollar una transformada de Fourier.
Observe la siguiente onda senoidal
y escuche la nota musical.La descripción detallada de la transformada de Fourier (FT) se postergó hasta este momento, para que el lector tuviera una mejor apreciación de por qué es necesaria. Una transformada de Fourier es una operación que convierte funciones en el dominio del tiempo al domino de la frecuencia. Una transformada de Fourier inversa (IFT) convierte del dominio de la frecuencia al dominio del tiempo.
El concepto de la transformada de Fourier no es tan difícil de comprender.
Recuerde del Chapter 2
Capítulo 2, que la transformada de Fourier es una técnica matemática para convertir
datos en el dominio del tiempo a datos en el dominio de la frecuencia, y viceversa.
Es posible que usted nunca haya pensado sobre esto, pero el cerebro humano es capaz de desarrollar una transformada de Fourier.
Observe la siguiente onda senoidal
y escuche la nota musical.
Un músico con perfecta afinación nos dirá que es el do medio (261.63 Hz) de la escala musical.
Este músico también podrá decirnos que esta onda senoidal
es el primer sol después del do medio (392 Hz),
y que esta onda senoidal
es el do a una octava superior del do medio (523.25 Hz).
Algunos pueden distinguir las notas cuando más de una suena en forma simultánea,
pero este proceso se torna más dificultoso cuando muchas notas suenan simultáneamente.
Haga sonar todas las notas mencionadas al unísono ¿Puede usted escuchar cuáles son las frecuencias que
están sonando simultáneamente? ¡La Transformada de Fourier puede! Cambie las amplitudes relativas de
las notas ¿Puede usted determinar sus amplitudes relativas mediante su oído? ¡La Transformada de Fourier puede!
El proceso de la Transformada de Fourier (FT) es como el músico que escucha un tono (señal en el dominio del tiempo) y determina qué nota (frecuencia) está sonando. La Transformada de Fourier inversa (IFT) es como el músico que lee las notas (frecuencias) en una partitura musical y las convierte en tonos (señales en el dominio del tiempo).
Para comenzar nuestra descripción detallada de la FT, evaluemos lo siguiente.
Un vector magnetización, comenzando en el eje X+, está rotando alrededor del eje Z en dirección horaria.
La representación de Mx
en función del tiempo es una onda tipo coseno.
Aplicando la Transformada de Fourier, se obtienen sendos picos en +n y -n porque la FT no puede distinguir
entre un vector que rota a +n y -n, a partir de los datos suministrados. + and -n
La representación de M y en función del tiempo es una función -seno.
Aplicando la Transformada de Fourier, se obtienen sendos picos en +n y - n porque la FT no
puede distinguir entre un vector positivo que rota +n y un vector negativo que rota a -n,
a partir de los datos suministrados.
La solución es incluir ambas Mx y My en la FT. La FT está diseñada para manejar dos
funciones ortogonales denominadas componentes real e imaginaria.
La detección de sólo una de las componentes Mx ó
Mx para su inclusión
en la FT se denomina detección lineal. Así era el esquema de detección en muchos espectrómetros de
RMN antiguos y algunos sistemas de imagen por resonancia magnética. Pero requería que la computadora
descartara la mitad de los datos en el dominio de la frecuencia. .
La detección de ambas componentes Mx y Mx
se denomina detección en cuadratura y es el método de detección en los modernos espectrómetros y sistemas de imágenes. Es el método de
elección ya que así la FT puede distinguir entre +n y -n, y se pueden utilizar todos los datos en el
dominio de la frecuencia. .
Una FT se define como la integral
Considere a la f(ω) como la superposición de una f(t) con una onda de frecuencia ω.
Esto es fácil de describir si observamos solamente la parte real de f(ω) only.
Consideremos la función de tiempo, f( t ) = cos( 4t ) + cos( 9t ).
Para comprender la FT, examinemos el producto de f(t) por el cos(ωt), para valores de w entre 1 y 10, y luego la sumatoria de los valores de este producto entre 1 y 10 segundos. La sumatoria es evaluada solo para valores de tiempo entre 0 y 10 segundos
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ω=1
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ω=2
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ω=3
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ω=4
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ω=5
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ω=6
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ω=7
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ω=8
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ω=9
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ω=10
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f(ω)
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La Transformada de Fourier inversa (IFT) se describe mejor como la sumatoria del espectro de
frecuencias en f(ω),en el dominio del tiempo.
La FT utiliza una función de entrada que consiste en una parte REAL y una IMAGINARIA. Podemos pensar en Mx como la entrada REAL, y en Mx como la entrada IMAGINARIA. La función de salida resultante de la FT tendrá así también una componente REAL y una IMAGINARIA.
Consideremos la siguiente función:
En la espectroscopia por RMN, la salida real de la FT se toma como el espectro de dominio
de la frecuencia. Para obtener un espectro de frecuencias (absorción) estéticamente satisfactorio, vamos
a ingresar una función coseno como la parte real y una función seno como la parte imaginaria de la FT.
Esto es lo que ocurre si la función coseno se ingresa como la parte imaginaria y el seno como la real.
IEn un experimento ideal de RMN, ninguno de los componentes de frecuencia que conforman la FID que se ha medido presenta corrimiento de fase. En la práctica, durante un experimento real de RMN, se debe aplicar una corrección de fase al espectro de dominio del tiempo o de la frecuencia para obtener un espectro de absorción como la salida real de la FT. Este proceso es equivalente a la transformación de coordenadas descripta en el Capítulo 2
Si la FID medida anteriormente registra un corrimiento de fase de 45º en ambas FIDs, real e
imaginaria,
se puede utilizar una matriz para transformación de coordenadas con
= - 45o.
La FIDs corregidas se verán como una función coseno en la componente real y un seno en la imaginaria.
Aplicando la transformada de Fourier a las FIDs corregidas en fase, se obtiene un espectro de
absorción como salida de la componente real de la FT. .
El corrimiento de fase también varía con la frecuencia, por lo que el espectro de RMN requiere también correcciones constantes y lineales de la fase de la señal de salida de la FT
= m ν + b
Las correcciones constantes de fase, b, provienen de la incapacidad del espectrómetro
de detectar en forma exacta Mx y My. Las correcciones lineales de fase, m, provienen de la incapacidad del
espectrómetro de detectar la magnetización transversal de forma inmediata luego del pulso de RF.
El siguiente diagrama describe la gran pérdida de fase en una FID de alta frecuencia, cuando la
sección amarilla inicial se pierde.
Desde el punto de vista práctico, la corrección de fase se
aplica en el dominio de la frecuencia y no del tiempo, ya que sabemos que un espectro de frecuencias
real está compuesto por solo picos positivos. Por lo tanto, podemos ajustar b y m hasta que todos
los picos positivos sean visibles en la señal real de salida de la FT.
En la imagen por resonancia magnética, las señales Mx o My raramente se exhiben. En cambio, se utiliza una señal que es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de Mx y My.
Para comprender mejor como funciona la TF en RMN, es necesario conocer algunos pares de Fourier típicos.
Un par de Fourier consta de dos funciones, la forma en el dominio de la frecuencia y la correspondiente
función en el dominio del tiempo. Aquí se mencionan algunos pares de Fourier que son útiles en IRM.
La amplitud de los pares de Fourier se ha omitido ya que no es relevante en IRM.
Valor constante en el tiempo
Real: cos(2πνt),
Imaginario: -sin(2πνt)
Función "comb" (Una serie de funciones delta separadas por un T))
Decaimiento Exponencial e-at for t > 0.
Pulso rectangular que comienza en 0 y dura T segundos.
Función Gaussiana: exp(-at2)
Para el profesional de resonancia magnética, el teorema más importante con relación
a la Transformada de Fourier es el teorema de la convolución. El teorema de la convolución establece que
la FT de la convolución de dos funciones es proporcional al producto de las Transformadas de Fourier individuales,
y viceversa.
Si f(ω) = FT( f(t) ) y g(ω) = FT( g(t) )
entonces f(ω) g(ω)
= FT( g(t) 
f(t) ) y
f(ω)
g(ω) = FT( g(t) f(t) )
Esto es más fácil de entender con gráficos. En la ventana de animación, estamos tratando
de encontrar la FT de una onda senoidal que se enciende y apaga.
El teorema de convolución nos dice que la FT es una función sinc (seno cardinal) a la frecuencia de la onda senoidal.
Otra aplicación del teorema de la convolución es en la reducción del ruido.
Con el teorema de la convolución se puede observar que la convolución de un espectro de RMN con
una función Lorentziana es equivalente a la FT de la multiplicación de la señal por una función
de decaimiento exponencial en el dominio del tiempo
¿Cómo es la FT de una señal representada por una serie de funciones delta? La respuesta se encuentra en el
próximo punto pero primero nos detendremos en las relaciones entre los datos muestreados en el dominio del
tiempo y el espectro de frecuencia resultante.
Un señal temporal de n puntos es muestreada a δt y lleva a tiempo t para ser medido.
El correspondiente espectro de frecuencias que produce una FT discreta tiene n puntos, un ancho de banda f,
y una resolución δf.
Las relaciones entre estas cantidades son las siguientes.
δf = (1/t)
El problema de enrollamiento o artefacto en una imagen de resonancia magnética es la visualización de uno de los lados del objeto evaluado, en el lado opuesto. En términos de un espectro de frecuencia unidimensional, el enrollamiento ocurre cuando un pico de baja frecuencia aparece en el lado incorrecto del espectro
El teorema de la convolución puede explicar por qué este problema resulta de muestrear
la magnetización transversal a muy baja velocidad o frecuencia. Primero, observe como se ve la FT de una FID
correctamente muestreada
Con la detección por cuadratura, el ancho de la imagen es igual a la inversa de la frecuencia de muestreo,
o al ancho del recuadro verde en la ventana de animación.
Cuando la frecuencia de muestreo es menor que el ancho espectral o el ancho de banda,
tiene lugar el enrollamiento
La transformada de Fourier bidimensional (2-DFT)
es una FT que se aplica a un arreglo bidimensional de datos
Consideremos el arreglo bidimensional de datos que aparece en la ventana de animación
Estos datos tiene una dimensión t' y una dimensión t''. Primero se aplica una FT en una dimensión y luego en la segunda.
El primer conjunto de FT se aplica en la dimensión t' para producir un conjunto de datos ν' por t''.
El segundo conjunto de FT se realiza en la dimensión t'' para obtener un conjunto de datos ν' por ν".
En la actualidad, la IRM requiere la utilización de la 2-DFT. En IRM, los datos se obtienen y organizan en un arreglo de dos dimensiones equivalentes a t' y t'', denominado espacio k. A estos datos crudos se les aplica la FT para producir la imagen que es equivalente a los datos ν' por ν'' descriptos anteriormente.
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