Основы МРТ

Глава 5

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ



Введение

До этого момента, преобразование Фурье (Fourier transform - FT) подробно не разбиралось по той причине, чтобы стала ясна его необходимость. Преобразование Фурье - это математическая операция, которая преобразует функцию от времени в частотные компоненты. Обратное преобразование Фурье (inverse Fourier transform - IFT) преобразует частотные компоненты во временные компоненты.

Возвращаясь к главе 2, преобразование Фурье есть математический метод перевода временных характеристик данных в частотные и обратно.

Проблема с положительными и отрицательными частотами

Перед началом подробного описания преобразования Фурье рассмотрим следующее. Вектор намагниченности, исходно направленный вдоль положительного луча оси X, вращается вокруг оси Z по часовой стрелке. График Mx, как функции от времени есть косинусоида. Так как из имеющихся данных преобразование Фурье не различает+ и - вращения вектора из имеющихся данных, то оно дает пики как на +, так и на -.

График My, как функции от времени есть синусоида. Так как из имеющихся данных преобразование Фурье не различает положительный вектор, вращающийся с частотой +, и отрицательный вектор, вращающийся с частотой -,то оно дает пики на +, так и на -.

Решением является подача на вход преобразования Фурье как Mx , так и My. Преобразование Фурье обрабатывает две поданные на вход ортогональные функции, называемыми действительной и мнимой компонентами.

Регистрация либо Mx, либо My (и только) компонент для последующего преобразования Фурье называется линейной детекцией. Этот алгоритм детекции применялся во многих устаревших ЯМР-спектрометрах и некоторых магнитно-резонансных томографах. Он заставлял компьютер отбрасывать половину частотных компонент данных.

Регистрация как Mx, так и My называется фазочувствительной детекцией (quadrature detection) и является методом детекции, применяемым на современных спектрометрах и томографах. Этот метод был выбран, так как благодаря ему преобразование Фурье может теперь различать + и - в полученных частотных компонентах данных.

Преобразование Фурье

Преобразование Фурье определяется интегралом

Представим f() как перекрытие f(t) с волной частоты .

Представить это легко, если рассмотреть только действительную часть f().

Представим функцию от времени f( t ) = cos( 4t ) + cos( 9t ).

Для понимания преобразования Фурье рассмотрим результат совмещения f(t) с cos(t) для значений равных от 1 до 10 и затем складывая значения результатов между 1 и 10 секундами. Сумма рассматривается только для временных значений между 0 и 10 секундой.

=1
=2
=3
=4
=5
=6
=7
=8
=9
=10
f()

Обратное преобразование Фурье (IFT) легче всего представить, как сумму временных компонент спектра частот в f().

Фазовая коррекция

Фактически, преобразование Фурье использует информацию на вводе, состоящую из действительной и мнимой частей. Представим Mx, как поданную на вход действительную часть и My, как поданную на вход мнимую часть. Следовательно, на выходе, результат преобразования Фурье будет иметь действительную и мнимую части.

Рассмотрим следующую функцию:

f(t) = e-at e-i2t

В ЯМР спектроскопии действительная часть, полученная на выходе преобразования Фурье принимается за частотную компоненту спектра. Для того чтобы получить эстетически правильную (абсорбционную) частотную компоненту спектра надо подать на вход преобразования Фурье функцию косинуса, как действительную часть и функцию синуса, как мнимую часть. Вот, что получится, если подать на вход косинус, как мнимую и синус, как действительную часть.

Чтобы получить спектр поглощения, как действительную часть на выходе преобразования Фурье, либо к временной, либо к частотной компоненте спектра необходимо применить фазовую коррекцию. Этот процесс аналогичен описанному в главе 2 преобразованию координат.

Если упоминаемый ранее спад свободной индукции (FID) записан так, что его действительная и мнимые части имеют фазовый сдвиг , составляющий 40o, матрица преобразования координат может быть использована с = - 45o. Действительные части скорректированных спадов свободных индукций будут выглядеть как функции косинуса, а мнимые части, как функции синуса.

Преобразование Фурье над скорректированными по фазе спадами свободных индукций дает спектр поглощения для действительной части получающейся из преобразования Фурье. Эта коррекция может быть реализована в частотной области также как и во временной области.

ЯМР-спектр требует проведения как константной так и линейной коррекций фазы сигнала после   преобразования Фурье.

= m + b

Необходимость в константных фазовых коррекциях, b, возникает из-за невозможности спектрометра измерять точные значения Mx и My. Необходимость в линейных фазовых коррекциях, m, возникает из-за невозможности спектрометра измерять поперечную намагниченность сразу же после РЧ импульса.

В магнитно-резонансной томографии сигналы Mx или My отображаются редко. Вместо этого используется модуль сигнала. Модуль сигнала равняется квадратному корню из суммы квадратов Mx и My.

Пары Фурье

Для более полного понимания преобразования Фурье над ЯМР функциями, необходимо знать несколько общих пар Фурье. Парой Фурье являются две функции - частотная характеристика и соответствующая временная характеристика. Вот несколько пар Фурье, используемых в МРТ. Амплитуда пар Фурье опущена, так как она не существенна в МРТ.

Постоянное значение на всем отрезке времени.

Действительная часть: cos(2t), мнимая: -sin(2t)

Щеточная функция (Серии дельта-функций, разделенных T).

Экспоненциальное затухание: e-at для t > 0.

Прямоугольный импульс, начинающийся в 0 и длящийся T секунд.

Гауссиан: exp(-at2).

Теорема о свертке

Для ученого, занимающегося магнитным резонансом, наболее важной теоремой касающейся преобразовании Фурье является теорема свертки. Теорема свертки гласит о том, что преобразование Фурье над двумя свернутыми функциями пропорционально результатам преобразований Фурье над каждой функцией в отдельности, и наоборот.

Если f() = FT( f(t) ) и h() = FT( h(t) ),

тогда f() g() = FT( g(t) f(t) ) и f() g() = FT( g(t) f(t) )

Станет понятнее, если посмотреть на представленные рисунки. В окошке для анимаций мы попытаемся провести преобразование Фурье над синусоидой, которая то включается , то выключается. По теореме о свертке получается функция sinc с частотой исходной синусоиды.

Другим применением теоремы о свертке является подавление шума. При помощи теоремы о свертке можно увидеть, что свертывание ЯМР-спектра с функцией Лоренца есть то же, что умножение временной компоненты сигнала на экпоненциально-затухающую функцию.

Числовое преобразование Фурье

В магнитно-резонансных томографах компьютер регистрирует не непрерывный спад свободной индукции, а спад разбитый на равные интервалы (дискретно). Каждый отрезок имеет дискретные амплитуду и временные значения. Компьютер производит преобразование Фурье над сериями дельта-функций, различающимися по интенсивности.

Ошибка дискретизации

Проблема (или артефакт) наложения в магнитно-резонансной томографии есть изображение одной половины отображаемого объекта на противоположной стороне. С точки зрения одномерных частотных компонент спектра, наложение является следствием наличия низкочастотных вершин на противоположной (неверной) стороне спектра.

Теорема о свертке может объяснить эту проблему, которая возникает при регистрации поперечной намагниченности на слишком медленной скорости. Вначале посмотрим, как выглядит подвергнутый преобразованию Фурье должным образом регистрируемый спад свободной индукции. При фазочувствительной детекции ширина изображения равняется инвертированной частоте дискретизации (ширина зеленой рамки на иллюстрации).

Если частота дискретизации меньше, чем ширина спектра, происходит наложение.

Двумерное преобразование Фурье

Методом двумерного преобразования Фурье (two-dimensional Fourier transform - 2-DFT) является преобразование Фурье, произведенное над двумерным массивом данных. Рассмотрим двумерный массив данных, показанный на рисунке. Эти данные имеют два измерения: t' и t". Преобразование Фурье над данными производится сначала в одном, а затем в другом направлениях. Первая часть преобразований Фурье проводится в t' измерении для получения f' на t" множества данных. Вторая часть преобразований Фурье производится в t" измерении для получения f' на f" множества данных.

Двумерное преобразование Фурье необходимо для проведения МРТ на современном уровне. В МРТ, данные собираются в эквиваленте t' и t" измерениям, называемом К-пространстве. Эти исходные данные преобразуются для получения изображения, которое эквивалентно описанным ранее f' на f" данным.


Контрольные вопросы

  1. Что является результатом преобразования Фурье над синусоидой частотой 63 МГц?
  2. Что является результатом преобразования Фурье над прямоугольным импульсом длительностью 50 mс?
  3. Что является результатом преобразования Фурье над синусоидой частотой 63 МГц, которая длится (включена) только 50 mс?
  4. Какова ширина функции из ответа на вопрос 3 в Гц и в миллионных долях (ppm), когда сигнал состовляет более 90% от своего максимального значения? Почему это так важно для ЯМР и МРТ?
  5. Чему должна быть равна частота дискретизации для точной регистрации спада свободной индукции от ЯМР-спектра шириной 2000 Гц?

Перейти к: [следующей главе | началу главы | предыдущей главе | титульному листу ]

Copyright © 1996-99 J.P. Hornak.
All Rights Reserved.