Non ci avrete mai pensato, ma il cervello umano e' capace di compiere una trasformata di Fourier.
Considerate l'onda sinusoidale seguente
e la nota:Una descrizione dettagliata della trasformata di Fourier (FT dall'inglese Fourier Transform) e' stata fino ad ora rimandata affinche' possiate meglio comprendere quanto sia importante. La trasformata di Fourier e' una operazione che converte le funzioni dal dominio del tempo a quello della frequenza. La trasformata inversa di Fourier converte dal dominio della frequenza al dominio del tempo.
Il concetto della trasformata di Fourier non e' difficile da capire e gia' nel Capitolo 2 avevamo accennato che la trasformata di Fourier e' una tecnica matematica per convertire dati dal dominio del tempo al dominio della frequenza e viceversa.
Non ci avrete mai pensato, ma il cervello umano e' capace di compiere una trasformata di Fourier.
Considerate l'onda sinusoidale seguente
e la nota:
Un musicista con una perfetta intonazione vi dira' che questo e' un DO centrale (261.63 Hz) sulla scala musicale occidentale.
Questo musicista sarebbe in grado di dirvi, inoltre, che questa onda sinusoidale
e' il primo SOL diesis al di sopra del DO centrale (392 Hz),
e che questa onda sinusoidale
e questa nota
Vi sono persone in grado di riconoscere le singole note nel caso di piu' note suonate contemporaneamente, anche se questo processo diventa piu' difficile all'aumentare delle note.
Provate a suonare tutte le note precedenti simultaneamente.
Riuscireste a dire quali frequenze sono state suonate?
Bene. La trasformata di Fourier puo' farlo!
Cambiate ora le ampiezze relative delle note.
Riuscireste a determinare le ampiezze relative con il vostro orecchio?
La trasformata di Fourier puo' farlo!
La trasformata di Fourier puo' essere assimilata ad un musicista che ascolta un tono (segnale nel dominio del tempo) e ne determina la nota (frequenza). La trasformata inversa di Fourier puo' essere assimilata ad un musicista che vede le note (frequenze) sullo spartito musicale e le converte in toni (segnali nel domino del tempo).
Per iniziare la nostra dettagliata descrizione della FT consideriamo l'esempio che segue. Un vettore di magnetizzazione, partendo da +X, ruota attorno all'asse Z in senso orario. Il grafico di Mx come funzione del tempo e' un'onda coseno.
Trasformando secondo Fourier questo segnale si ottengono dei picchi sia a +ν che a -ν
poiche' la FT non puo' distinguere tra una rotazione a +ν
e una a -ν
del vettore dai dati forniti.
Il grafico di My in funzione del tempo e' una funzione -seno.
Trasformando secondo Fourier questo segnale si ottengono picchi a +ν e -ν
poiche' la FT non puo' distinguere, dai dati forniti, tra un vettore positivo che ruota a +ν
e un vettore negativo che ruota a -ν.
La soluzione e' immettere nella FT entrambi i vettori di magnetizzazione Mx e My. La FT e' infatti pensata per operare con due funzioni di ingresso, tra loro ortogonali, chiamate componente reale e componente immaginaria.
La rivelazione della sola componente Mx o My quale "ingresso" per la FT e' chiamata rivelazione lineare. Era questo lo schema di rivelazione per molti dei vecchi spettrometri NMR e delle macchine per imaging a risonanza magnetica. Era necessario un computer per scartare la meta' dei dati nel dominio della frequenza.
La rivelazione di entrambe le componenti Mx e My e' chiamata rivelazione in quadratura ed e' il metodo di rivelazione dei moderni spettrometri NMR e dei tomografi per imaging. Questo e' il metodo scelto poiche' la FT e' in grado di distinguere tra
+ν e -ν;di conseguenza, e' possibile usare tutti i dati del dominio delle frequenze.
Una FT e' definita dall'integrale
Pensate a f(
) come la sovrapposizione di f(t) con un'onda di frequenza
.
La sua rappresentazione e' semplice se si guarda alla sola parte reale di f()
Considerate la funzione del tempo, f( t ) = cos( 4t ) + cos( 9t ).
Per capirne la FT, esaminate il prodotto di f(t) con cos(wt) per valori di w compresi tra 1 e 10, e quindi la sommatoria dei valori di questo prodotto tra 1 e 10 secondi. La sommatoria sara' esaminata soltanto per valori del tempo tra 1 e 10 secondi.
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w=1
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w=2
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w=3
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w=4
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w=5
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w=6
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w=7
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w=8
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w=9
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w=10
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f(w)
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La trasformata inversa di Fourier (IFT) e' meglio descritta come una sommatoria degli spettri nel dominio del tempo per le frequenze in
f(w).
In realta' la FT fa uso di un "ingresso" che consiste di una parte REALE e una IMMAGINARIA. Potete pensare che Mx sia la parte REALE dell'ingresso e My la parte IMMAGINARIA. Anche il risultato della FT avra' dunque una componente REALE e una IMMAGINARIA.
Considerate la seguente funzione:
Nella spettroscopia NMR con la FT, la parte reale della FT e' presa come lo spettro del dominio della frequenza. Per vedere uno spettro nel dominio della frequenza che sia chiaramente leggibile (assorbimento), scegliamo come ingressi per la FT una funzione coseno per la parte reale e una funzione seno per la parte immaginaria. Questo e' quello che accade se usiamo come ingressi la funzione coseno per la parte immaginaria e la funzione seno per quella reale.
Per ottenere uno spettro di assorbimento quale parte reale del risultato della FT, e' necessario apportare una correzione della fase sia per il dominio del tempo che per quello della frequenza. Questo processo e' equivalente alla trasformazione di coordinate descritta nel Capitolo 2.
Se il FID menzionato sopra viene registrato in modo che ci sia uno "shift" di 40o
della fase nelle parti reale e immaginaria,
la matrice della trasformazione di coordinate puo' essere usata con
Φ = - 45o.
I FID corretti saranno del tipo funzione coseno per la parte reale e funzione seno per la parte immaginaria.
Trasformando secondo Fourier i FID corretti per la fase, si ottiene, quale parte reale della FT, uno spettro di assorbimento.
Questa correzione puo' essere fatta nel dominio della frequenza cosi' come nel dominio del tempo.
Per mettere in fase il segnale trasformato secondo Fourier, gli spettri NMR necessitano di una correzione lineare e dell'aggiunta di una costante.
Le correzioni della fase per la costante, b, sorgono dall'incapacita' dello spettrometro di rivelare l'esatto Mx e My; la correzione lineare, m, della fase sorge dall'incapacita' dello spettrometro di rivelare la magnetizzazione trasversale che ha origine immediatamente dopo l'impulso RF.
I segnali Mx o My sono raramente visualizzati nell'imaging a risonanza magnetica. Si preferisce usare un segnale di modulo. Il segnale di modulo e' uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati di Mx e My.
Per meglio capire come funziona l'NMR con la FT, occorre conoscere alcune comuni "coppie di Fourier".
Una coppia di Fourier e' un insieme di due funzioni, una delle quali e' la rappresentazione nel dominio delle frequenze e l'altra la corrispondente rappresentazione nel dominio del tempo. Di seguito sono riportate alcune coppie di Fourier che sono utili in MRI. L'ampiezza delle coppie di Fourier e' stata trascurata in quanto non rilevante nell'MRI.
Valore costante nel tempo
Reale: cos(2πνt),
Immaginaria: -sin(2πνt)
Funzione a pettine (una serie di funzioni delta separate da un periodo T)
Decadimento esponenziale: e-at per t > 0
Un impulso quadrato della durata di T secondi (a partire da t=0)
Gaussiana: exp(-at2)
Per lo studioso di risonanza magnetica, il teorema piu' importante riguardante le trasformate di Fourier e' il teorema di convoluzione. Il teorema di convoluzione dice che la FT della convoluzione di due funzioni e' proporzionale al prodotto delle trasformate di Fourier delle singole funzioni, e viceversa.
Se f() = FT[f(t)] e
g() = FT[g(t)]
allora FT[g(t) 
f(t)] = f() g() e
FT[g(t) f(t)] = f()
g()
E' piu' facile rendersi conto di tutto questo con degli esempi grafici. Nella finestra grafica stiamo tentando di trovare la FT di un'onda sinusoidale che viene accesa e spenta.
Il teorema della convoluzione ci dice che questa e' una funzione sinc alla frequenza dell'onda del seno.
Un'altra applicazione del teorema di convoluzione e' la riduzione del rumore. Si puo' far vedere, usando il teorema della convoluzione, che la convoluzione di un spettro NMR con una funzione Lorentziana equivale a moltiplicare il segnale nel dominio del tempo con una funzione che decade esponenzialmente.
In una macchina di risonanza magnetica, il computer non vede un FID continuo, ma piuttosto un FID che e' campionato ad un intervallo di tempo costante. I valori di questi campioni, che costituiscono il FID, avranno valori discreti di ampiezza e tempo. Di conseguenza, per effettuare la FT, il computer ha bisogno di una serie di funzioni delta che variano in intensita'.
Il problema del ribaltamento o artefatto in un'immagine di risonanza magnetica si verifica quando una parte dell'oggetto in esame appare nel lato opposto a quello in cui dovrebbe apparire. In termini di spettro nel dominio della frequenza monodimensionale, il ribaltamento e' la presenza di un picco di bassa frequenza sul lato opposto dello spettro.
Il teorema della convoluzione puo' spiegare perche' questo problema e' il risultato di un campionamento della magnetizzazione a una frequenza di campionamento troppo bassa. Osservate innanzitutto come appare la FT di un FID correttamente campionato.
Con la rivelazione in quadratura, l'ampiezza dell'immagine e' uguale all'inverso della frequenza di campionamento o all'ampiezza del riquadro verde nella finestra grafica.
Quando la frequenza di campionamento e' minore dell'ampiezza dello spettro, ha origine l'artefatto da ribaltamento.
La trasformata di Fourier bi-dimensionale (2D FT)
e' una FT fatta su una matrice di dati bidimensionale.
Considerate la matrice di dati bi-dimensionale descritta nella finestra grafica.
Questi dati hanno una dimensione t' e una t". La FT viene effettuata sui dati prima in una dimensione e poi nell'altra. Il primo set di trasformate di Fourier e' effettuato nella dimensione t' per produrre una f'.
Il secondo set di trasformate di Fourier e' fatto nella dimensione t" per produrre una f".
Nell'MRI allo stato dell'arte e' richiesta la 2D FT. I dati sono raccolti nell'equivalente delle dimensioni t' e t", chiamato spazio-k. Questi dati grezzi sono trasformati con la FT per produrre l'immagine che e' l'equivalente della f ' e della f" sopra descritte.
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