The Basics of MRI

Capitolo 5

LA TRASFORMATA DI FOURIER



Introduzione

L'analisi e l'interpretazione dei segnali registrati da un'apparecchiatura di risonanza magnetica è basata sulla trasformata di Fourier. La trasformata di Fourier (FT dall'inglese Fourier Transform) è un'operazione che permette di ottenere il contenuto in frequenza di un segnale. La trasformata inversa di Fourier consente di ricavare un segnale a partire dal suo contenuto in frequenza.

Il concetto non è difficile da capire. Forse non ci avete mai pensato, ma il cervello umano è capace di compiere una trasformata di Fourier. Si consideri l'onda sinusoidale seguente e la nota:

Un musicista con una perfetta intonazione vi dirà che questo è un DO centrale (261.63 Hz) sulla scala musicale occidentale. Questo musicista sarà in grado di dirvi, inoltre, che quest'onda sinusoidale è il primo SOL diesis al di sopra del DO centrale (392 Hz),

e che quest'onda sinusoidale e questa nota

sono di un DO di un'ottava superiore al DO centrale (523.25 Hz).

Vi sono persone in grado di riconoscere le singole note nel caso di più note suonate contemporaneamente, benché questo processo diventi più difficile all'aumentare delle note. Provate a suonare tutte le note precedenti simultaneamente. Riuscireste a dire quali frequenze sono state suonate? Bene. La trasformata di Fourier può farlo! Si cambino ora le ampiezze relative delle note. Riuscireste a determinare le intensità relative delle note con il vostro orecchio? La trasformata di Fourier può farlo!

L'operazione effettuata dalla trasformata di Fourier può essere assimilata ad un musicista che ascolta un insieme di toni (segnale nel dominio del tempo) e ne determina le note (contenuto in frequenza). La trasformata inversa di Fourier può essere assimilata ad un musicista che legge le note sullo spartito musicale e le converte in toni.

Considerazioni circa il segno della frequenza

Per iniziare la nostra dettagliata descrizione della FT consideriamo l'esempio che segue. Un vettore di magnetizzazione, partendo da +X, ruota attorno all'asse Z in senso orario in un periodo 1/ν (o con velocità angolare ω=2πν). Il grafico di Mx come funzione del tempo è un'onda coseno di frequenza ν. Trasformando secondo Fourier questo segnale si ottengono due picchi in corrispondenza dei valori di frequenza +ν e -ν. Pertanto, la FT del solo segnale Mx non è in grado di distinguere tra una rotazione in senso orario ed una in senso antiorario del vettore di magnetizzazione.

Il grafico di My in funzione del tempo è una funzione -seno di frequenza ν. Trasformando secondo Fourier questo segnale si ottengono due picchi in corrispondenza dei valori di frequenza +ν e -ν. Pertanto, la FT non può distinguere, dai dati forniti, tra un vettore che ruota a +ν ed un vettore di uguale modulo e verso opposto che ruota a -ν.

Per individuare esattamente il moto di rotazione, la soluzione è immettere nella FT entrambe le componenti, Mx e My, del vettore di magnetizzazione. La FT è infatti pensata per operare con due funzioni di ingresso, tra loro ortogonali, chiamate componente reale e componente immaginaria, o equivalentemente, con il segnale complesso che le due componenti ortogonali formano.

In NMR ed MRI l'utilizzo della sola componente Mx o My quale "ingresso" per la FT è chiamata rivelazione lineare. Era questo lo schema di funzionamento per molti dei vecchi spettrometri NMR e delle apparecchiature per imaging a risonanza magnetica, per i quali era necessaria una fase di pre-processing per scartare la metà dei dati nel dominio delle frequenze. L'utilizzo di entrambe le componenti Mx e My è chiamata rivelazione in quadratura ed è il metodo di rivelazione dei moderni spettrometri NMR e dei tomografi per imaging. Con questo metodo la FT è in grado di distinguere tra +ν e -ν e, di conseguenza, è possibile usare tutti i dati del dominio delle frequenze.

La trasformata di Fourier

L'idea di base è che un segnale può sempre essere pensato come sovrapposizione di funzioni sinusoidali di differenti frequenze. Matematicamente, la trasformata di Fourier (FT) di un segnale ƒ è definita dall'integrale:

Si pensi a ƒ(ω) come la sovrapposizione di ƒ(t) con un'onda di frequenza ω:

(è più semplice visualizzare la funzione ƒ(ω) se si guarda alla sua sola parte reale:)

Chiariamo con un esempio. Si consideri la funzione del tempo, ƒ( t ) = cos( 4t ) + cos( 9t ).

Per capirne la FT, valutate il prodotto di ƒ(t) con cos(ωt) per valori di ω compresi tra 1 e 10, e quindi la sommatoria dei valori di questo prodotto per i soli valori del tempo tra 1 e 10 secondi.

ω=1
ω=2
ω=3
ω=4
ω=5
ω=6
ω=7
ω=8
ω=9
ω=10
ƒ(ω)

Solo le frequenze che contribuiscono al segnale danno una sommatoria (integrale) finita mentre le rimanenti restituiscono una sommatoria (integrale) zero. La trasformata di Fourier di un segnale nel dominio del tempo è quindi la scomposizione del segnale nelle sue componenti in frequenza e nelle loro corrispondenti ampiezze (spettro).
La FT è un'operazione invertibile: è possibile ricostruire esattamente il segnale originale a partire dal suo spettro in frequenza (trasformata inversa di Fourier).

La correzione di fase

Abbiamo detto che la FT delle moderne apparecchiature fa uso di un "ingresso" che consiste di una parte reale ed una immaginaria. Potete pensare che Mx sia la parte reale dell'ingresso e My la parte immaginaria: Mxy = Mx + iMy. Il risultato della FT avrà anch'esso una componente reale ed una immaginaria.

Si consideri la seguente funzione:

ƒ(t) = e-at (cosωt - isenωt)

Nella spettroscopia NMR con la trasformata di Fourier, la parte reale del risultato della FT è presa come spettro del dominio delle frequenze. Ora, per registrare uno spettro nel dominio delle frequenze che sia chiaramente leggibile è necessario fornire in ingresso alla FT una funzione coseno per la parte reale e una funzione seno per la parte immaginaria. Questo è quello che accade se, viceversa, si utilizza quale ingresso per la FT una funzione coseno per la parte immaginaria e una funzione seno per quella reale.

In un esperimento ideale, nessuna delle componenti in frequenza di un FID registrato presenta uno spostamento di fase. In un esperimento reale, invece, per ottenere uno spettro di assorbimento quale parte reale del risultato della FT, è necessario apportare una correzione di fase nel dominio del tempo o in quello della frequenza. Questo processo è assimilabile ad una trasformazione di coordinate (Capitolo 2).

Se, per esempio, il FID sopra menzionato viene registrato in modo che ci sia uno spostamento di fase di 45° nelle parti reale e immaginaria, la matrice di trasformazione di coordinate può essere usata con Φ=-45°. I FID corretti somiglieranno ad una funzione coseno per la parte reale e ad una funzione seno per quella immaginaria. Trasformando secondo Fourier i FID corretti per la fase si ottiene, quale parte reale del risultato della FT, uno spettro di assorbimento.

Lo spostamento di fase risulta inoltre funzione della frequenza per cui gli spettri NMR necessitano di una correzione lineare e dell'aggiunta di una costante affinchéil segnale trasformato secondo Fourier risulti in fase.

Φ = m ν + b

La correzione per la costante, b, ha origine dall'incapacità dello spettrometro di rivelare l'esatto valore di Mx e My; la correzione lineare, m, sorge dall'incapacità dello spettrometro di rivelare il valore della magnetizzazione trasversale negli istanti immediatamente successivi all'applicazione dell'impulso RF. Nella finestra grafica viene mostrata la perdita di fase di un FID ad alta frequenza quando la sua parte iniziale (sezione in giallo) non viene rivelata. Da un punto di vista pratico, la correzione di fase viene direttamente applicata nel dominio delle frequenze piuttosto che in quello del tempo, scegliendo i valori di m e b che permettono di ottenere uno spettro in frequenza composto da soli picchi positivi.

Funzioni e loro trasformate

Per meglio comprendere come funziona l'NMR con la FT, occorre conoscere le trasformate di Fourier di alcuni segnali comuni. Si definisce "coppia di Fourier" l'insieme di due funzioni che sono la rappresentazione nel dominio delle frequenze e la corrispondente rappresentazione nel dominio del tempo di un segnale. Di seguito sono riportate alcune coppie di Fourier di utilizzo comune in MRI. L'ampiezza dei segnali è stata trascurata in quanto non rilevante nell'MRI.

Valore costante nel tempo

Reale: cos(2πνt), Immaginaria: -sen(2πνt)

Funzione a pettine (una serie di funzioni delta separate da un periodo T)

Decadimento esponenziale: e-at per t > 0

Impulso rettangolare della durata di T secondi (a partire da t=0)

Gaussiana: e-at2

Il teorema di convoluzione

Per lo studioso di risonanza magnetica, il teorema più importante riguardante le trasformate di Fourier è il teorema di convoluzione. Il teorema afferma che la FT della convoluzione di due funzioni è proporzionale al prodotto delle trasformate di Fourier delle singole funzioni, e viceversa.

Se   ƒ(ω) = FT[ƒ(t)]   e   g(ω) = FT[g(t)]

allora   FT[g(t) ƒ(t)] = ƒ(ω) g(ω)   e   FT[g(t) ƒ(t)] = ƒ(ω) g(ω)

È più facile rendersi conto di tutto questo con degli esempi. Nella finestra grafica si vuol mostrare una via alternativa per calcolare la FT di un'onda sinusoidale che viene accesa e spenta (l'operazione di accensione/spegnimento viene idealmente attuata attraverso una moltiplicazione nel dominio fisico con un'onda quadra). Il teorema di convoluzione ci dice che questa è una funzione sinc alla frequenza dell'onda del seno.

Un'altra applicazione del teorema di convoluzione è la riduzione del rumore. Per ripulire dal rumore i segnali NMR si è soliti convolvere lo spettro NMR con una Lorentziana, operazione che, per il teorema della convoluzione, equivale a moltiplicare il segnale NMR nel dominio del tempo (FID) con una funzione che decade esponenzialmente. Questa operazione (detta anche FID Apodization) in pratica esalta la parte iniziale del FID rispetto alla più rumorosa parte di coda del segnale che viene portata a zero quanto più rapidamente possibile mediante la moltiplicazione con una funzione che decade esponenzialmente.

La trasformata di Fourier digitale

In una macchina di risonanza magnetica, il computer non vede un segnale di FID o di echo continui, ma piuttosto un segnale discreto che rappresenta il campionamento del FID o dell'echo ad una frequenza opportunamente scelta sulla base del contenuto in frequenza del segnale. I valori di questi campioni avranno valori discreti di ampiezza e tempo. Di conseguenza, per effettuare la FT, il computer interpreta il segnale misurato come una serie di funzioni delta che variano in intensità, riconducendo l'operazione di integrale ad una sommatoria.
Chiariamo a questo punto le relazioni che intercorrono tra i dati campionati nel dominio del tempo ed il corrispondente spettro nel dominio delle frequenze. Uno spettro nel dominio del tempo è un insieme di n punti ottenuto con un campionamento ad intervalli di tempo δt e che impiega un tempo t per essere registrato. Il corrispondente spettro nel dominio delle frequenze, prodotto della FT discreta, avrà anch'esso n punti, un'ampiezza di banda f e una risoluzione δf. Le relazioni che intercorrono tra queste quantità sono le seguenti:

f = (1/δt)

δf = (1/t)

Errori di campionamento

Se la frequenza di campionamento non è opportunamente scelta, nell'immagine di risonanza magnetica possono comparire degli artefatti. L'artefatto da ribaltamento si verifica quando, in un'immagine di risonanza magnetica, una parte dell'oggetto in esame appare nel lato opposto a quello in cui dovrebbe apparire.

Il teorema di convoluzione può spiegare la presenza dell'artefatto come il risultato di un campionamento ad una frequenza troppo bassa. Osservate, innanzitutto, come appare la FT di un FID correttamente campionato. Con la rivelazione in quadratura, l'ampiezza dell'immagine è uguale all'inverso della frequenza di campionamento (ampiezza del riquadro verde nella finestra grafica). Quando la frequenza di campionamento è minore dell'ampiezza dello spettro (anche detta ampiezza di banda), i segnali di frequenza maggiore della frequenza di campionamento vengono erroneamente interpretati come basse frequenze, dando origine all'artefatto da ribaltamento.

La trasformata di Fourier bidimensionale

La trasformata di Fourier bidimensionale è intimamente legata alla ricostruzione di un'immagine di risonanza magnetica.

Considerate la matrice di dati bidimensionale descritta nella finestra grafica. Questi dati hanno una dimensione t' e una t". La trasformata di Fourier viene effettuata sui dati prima rispetto ad una dimensione e poi rispetto all'altra. Il primo set di trasformate di Fourier è effettuato rispetto alla dimensione t' per produrre un insieme di dati ν',t". Il secondo set di trasformate di Fourier è fatto rispetto alla dimensione t" per produrre un insieme di dati ν',ν".

Durante una scansione, l'apparecchiatura raccoglie un insieme di dati nell'equivalente delle dimensioni t' e t", chiamato spazio-k. Questi dati grezzi trasformati secondo Fourier producono l'immagine di risonanza magnetica (che è l'equivalente dell'insieme di dati ν',ν" sopra descritto). Poiché il risultato di una trasformata di Fourier è una funzione complessa, per la visualizzazione dell'immagine di risonanza magnetica viene normalmente effettuata un'operazione di modulo (radice quadrata della somma dei quadrati della componente reale e di quella immaginaria).


Esercizi

  1. Qual è la trasformata di Fourier di un'onda sinusoidale a 63 MHz?

  2. Qual è la trasformata di Fourier di un impulso quadrato della durata di 50 μs?

  3. Qual è la trasformata di Fourier di un'onda sinusoidale a 63 MHz attivata per soli 50 μs?

  4. Nell'esercizio 3, qual è l'ampiezza della funzione in Hz e in ppm quando il segnale è maggiore del 90% del suo valore massimo? Perché questo risultato è significativo in NMR e in MRI?

  5. Qual è la frequenza di campionamento in quadratura necessaria per registrare accuratamente il FID da uno spettro NMR di ampiezza 2000 Hz?

  6. Qual è la trasformata di Fourier di un segnale in quadratura derivante da un'onda sinusoidale a 63 MHz? (assumete uguali la componente reale coseno a 63 MHz e immaginaria seno a 63 MHz).

  7. Qual è la trasformata di Fourier di un impulso quadrato della durata di 33 μs?

  8. Qual è la trasformata di Fourier dell'onda sinusoidale a 63 MHz dell'esercizio 1 che è attivata per soli 33 μs?

  9. Qual è l'ampiezza di questa funzione in Hz e in ppm quando questo segnale è maggiore del 90% del suo valore massimo? Perché questo risultato è significativo in NMR e in MRI?

  10. Qual è la frequenza di campionamento in quadratura necessaria per registrare accuratamente il FID da uno spettro NMR di ampiezza 500 Hz?


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