Principios Básicos de IRM

Capítulo 3

FÍSICA DEL ESPIN



Espin

¿Qué es el espín? El espín es una propiedad fundamental de la naturaleza como la carga eléctrica o la masa. El espín se presenta en múltiplos de ½ y puede ser + ó -. Los protones, electrones y neutrones poseen espín. Los electrones, protones y neutrones no apareados poseen un espín de ½.

En el átomo de deuterio ( 2H ), con un electrón no apareado, un protón no apareado y un neutrón no apareado, el espín electrónico total = ½ y el espín nuclear total =1. 

Dos o más partículas con espín de signo opuesto pueden aparearse para eliminar la manifestación observable del espín. Un ejemplo es el helio.  En la resonancia magnética nuclear, los espines nucleares no apareados son los que tienen importancia.

Propiedades del Espín

Una partícula con espín neto, colocada en un campo magnético de potencia B, puede absorber un fotón de frecuencia . La frecuencia   depende de la constante giromagnética ,  de la partícula.

B

Para el hidrógeno,  = 42.58 MHz / T.

Núcleos con Espín

Los núcleos están compuestos de protones con carga positiva y neutrones sin carga, que se mantienen unidos por fuerzas nucleares. Los protones y neutrones tienen aproximadamente la misma masa, que es 1840 veces más grande que la masa de un electrón. Los neutrones y protones se conocen en conjunto como nucleones

El modelo nuclear de capas establece que los nucleones, como los electrones, se disponen en órbitas. Cuando el número de protones o neutrones es igual a 2, 8, 20, 28, 50, 82 y 126, las órbitas se completan. Considerando que los nucleones tienen espín, como los electrones, sus espines se pueden aparear y anular cuando se completan los orbitales. Casi todos los elementos de la tabla periódica tienen un isótopo con espín nuclear distinto de cero. RMN sólo se puede realizar con isótopos cuya abundancia natural sea suficientemente elevada como para ser detectada; sin embargo, algunos de los núcleos listados a continuación resultan de interés en IRM.

Núcleo  no apareados
Protones 
no apareados BR>Neutrones  Espin neto  (MHz/T) 
1H 1/2  42.58 
2H 6.54 
31P 1/2  17.25 
23Na 1 3/2  11.27 
14N 3.08 
13C 1/2  10.71 
19 1/2  40.08 

Niveles de Energía

Para comprender cómo se comportan las partículas con espín en un campo magnético, consideremos un protón. Este protón tiene la propiedad denominada espín. Pensemos al espín de este protón como el vector momento magnético, que hace que el protón se comporte como un pequeño imán con un polo norte y un polo sur.

Cuando el protón se coloca en un campo magnético externo, el vector espín de la partícula se alinea con el campo externo, exactamente como lo haría un imán. Existe una configuración o estado de baja energía cuando los polos se alinean N-S-N-S   y un estado de alta energía N-N-S-S. . 

Transiciones

Esta partícula puede realizar una transición entre los dos niveles de energía mediante la absorción de un fotón. Una partícula en el estado de menor energía absorbe un fotón y termina en el estado de mayor energía. La energía de este fotón debe ser exactamente igual a la diferencia de energía entre los dos estados. La energía, E, de un fotón está relacionada con su frecuencia,  , por la constante de Planck (h = 6.626x10-34 J s).

E = h  

En RMN e IRM, la cantidad  se denomina frecuencia de resonancia o frecuencia de Larmor.

Diagrama de los Niveles de Energía

La energía entre los dos estados del espín se puede representar mediante un diagrama de los niveles de energía. Hemos visto que   B y que E = h , por lo tanto la energía del fotón necesaria para provocar una transición entre los dos estados del espín es

E = h 

Solo cuando la energía del fotón concuerda con la diferencia de energía entre los dos estados del espín, dicha energía se puede absorber. 

En el ámbito de la RMN, la frecuencia del fotón está dentro del rango de la radiofrecuencia (RF). En la espectroscopía por RMN,   está entre 60 y 800 MHz para el núcleo de hidrógeno. En la IRM clínica,  está típicamente entre 15 y 80 MHz para el hidrógeno.

Experimento de RMN de Onda Continua

El experimento de RMN más simple es el experimento con onda continua (OC). Hay dos modos de realizar este experimento. En el primero, una frecuencia constante, continuamente encendida, atraviesa los niveles de energía mientras el campo magnético varía. La energía de esta frecuencia se representa mediante la línea azul en el diagrama de niveles de energía.

El experimento con OC también se puede realizar con un campo magnético constante y una frecuencia que varía. La magnitud del campo magnético constante se representa por la posición de la línea azul vertical en el diagrama de niveles de energía

Estadística de Boltzmann

Cuando un grupo de espines se coloca en un campo magnético, cada espín se alinea en una de sus dos posibles orientaciones.

A temperatura ambiente, el número de espines en el nivel de menor energía, N+, supera levemente al número de espines en el nivel superior, N-. La estadística de Boltzmann establece que

N-/N+ = e-E/kT.

E es la diferencia de energía entre los dos estados del espín; k es la constante de Boltzmann, 1.3805x10-23 J/Kelvin; y T es la temperatura en Kelvin

A medida que la temperatura desciende, también disminuye el cociente N-/N+. A medida que la temperatura aumenta, el cociente se acerca a la unidad.

La señal en espectroscopia por RMN es el resultado de la diferencia entre la energía absorbida por los espines, que realizan una transición del estado de menor al de mayor energía, y la energía emitida por los espines que simultáneamente realizan una transición del estado de mayor al de menor energía. La señal es entonces proporcional a la diferencia de población entre los dos estados. La espectroscopía por RMN es bastante sensible ya que es capaz de detectar estas pequeñas diferencias de población. Es la resonancia, o el intercambio de energía a una frecuencia específica entre los espines y el espectrómetro, lo que proporciona sensibilidad a la RMN.

Cabe mencionar a esta altura, otros dos factores que tienen influencia sobre la señal de RMI: la abundancia natural del isótopo y su abundancia biológica. La abundancia natural de un isótopo es la proporción de núcleos que tienen un número dado de protones y neutrones, o peso atómico. Por ejemplo, hay tres isótopos de hidrógeno, 1H, 2H, and 3H. La abundancia natural del 1H es de 99.985%. El siguiente cuadro enumera la abundancia natural de algunos núcleos que se estudian en IRM.

Elemento Símbolo Natural
Abundancia
Hidrógeno 1H 99.985
2H 0.015
Carbono 13C 1.11
Nitrógeno 14N 99.63
15N 0.37
Sodio 23Na 100
Fósforo 31P 100
Potasio 39K 93.1
Calcio 43Ca 0.145
 

La abundancia biológica es la proporción de un tipo de átomo en el cuerpo humano. .  El siguiente cuadro enumera la abundancia biológica de algunos de los núcleos que se evalúa en IRM.

Elemento Abundancia
Biológica*
Hidrógeno (H) 0.63
Sodio (Na) 0.00041
Fósforo (P) 0.0024
Carbono (C) 0.094
Oxigeno (O) 0.26
Calcio (Ca) 0.0022
Nitrógeno (N) 0.015
* Calculado de .

Paquete de Espines

Es complicado describir la RMN a nivel microscópico. Resulta más conveniente una descripción macroscópica. El primer paso para desarrollar una representación macroscópica es definir qué es un paquete de espines. Un paquete de espines es un grupo de espines que experimentan la misma intensidad de campo magnético. En este ejemplo, los espines dentro de cada sección de la grilla representan un paquete de espines. 

En cualquier instante de tiempo, el campo magnético debido a los espines en cada paquete se puede representar mediante un vector de magnetización. 

El tamaño de cada vector es proporcional a (N+ - N-).

El vector resultante de la suma de los vectores de magnetización de todos los paquetes de espines es la magnetización neta. Para describir la RMN pulsada es necesario, a partir de aquí, hablar en términos de magnetización neta 

Adaptándonos al sistema de coordenadas convencional en RMN, el campo magnético externo y el vector de magnetización en equilibrio están ambos a lo largo del eje Z.  

Proceso de relajación T1

En equilibrio, el vector de magnetización neta apunta en la dirección del campo magnético aplicado Bo y se denomina magnetización en equilibrio Mo. En esta configuración, la componente Z de la magnetización MZ es igual a Mo. MZ se conoce como magnetización longitudinal. No hay magnetización transversal (MX o MY) aquí. 

Es posible cambiar la magnetización neta, exponiendo al sistema de espines nucleares a una energía con una frecuencia igual a la diferencia de energía entre los estados posibles del espín. Si se introduce demasiada energía al sistema, es posible que el sistema de espines se sature y que MZ=0. 

La constante de tiempo que describe como MZ retorna al valor de equilibrio se denomina tiempo de relajación (T1) o espín-red (en inglés, “spin lattice”).La ecuación que gobierna este comportamiento en función del tiempo t después de su desplazamiento es:

Mz = Mo ( 1 - e-t/T1

T1 es el tiempo transcurrido hasta que la diferencia entre la magnetización longitudinal (MZ) y su valor de equilibrio se reduzca en un factor de e.  

Si la magnetización neta se rota a lo largo del eje Z-, esta retornará gradualmente a su posición de equilibrio a lo largo del eje Z+, a una velocidad que dependerá de T1 La ecuación que representa este comportamiento en función del tiempo t después de su desplazamiento es:

Mz = Mo ( 1 - 2e-t/T1

Nuevamente, el tiempo de relajación (T1) (espín-red) es el tiempo para que la diferencia entre la magnetización longitudinal (MZ) y su valor de equilibrio se reduzca en un valor de e

Precesión

Si la magnetización neta se vuelca al plano XY   esta rotará alrededor del eje Z a una frecuencia igual a la frecuencia del fotón que causó la transición entre los dos niveles de energía del espín. Esta frecuencia se denomina frecuencia de Larmor. 

Proceso de relajación T2

Además de la rotación, la magnetización neta comienza a desfasarse porque cada paquete de espines que la conforma experimenta una leve diferencia del campo magnético y rota a su propia frecuencia de Larmor. A medida que aumenta el tiempo transcurrido, aumenta la diferencia de fase. Aquí, el vector de magnetización neta está inicialmente a lo largo del eje Y+. Para este y todos los ejemplos de desfase, imagine a este vector como la superposición de varios pequeños vectores que provienen de cada paquete individual de espines. . 

La constante de tiempo que describe el retorno al equilibrio de la magnetización transversal, MXY, se denomina tiempo de relajación T2, o espín-espín.

MXY =MXYo e-t/T2 

T2 T2 es siempre menor o igual a T1. La magnetización neta en el plano XY disminuye hasta cero y luego la magnetización longitudinal crece hasta que tenemos nuevamente M0 Mo a lo largo del eje Z. 

Toda magnetización transversal se comporta de la misma forma.  La componente transversal rota en torno a la dirección de la magnetización aplicada y se desfasa. T1 gobierna la velocidad de recuperación de la magnetización longitudinal

Resumiendo, la relajación T2 o espín-espín es el tiempo para que la magnetización transversal se reduzca en un factor de e. En los párrafos anteriores, los procesos T2 y T1 se describen en forma separada para mayor claridad. Es decir, se ha presentado que los vectores de magnetización ocupan completamente el plano XY antes de crecer nuevamente a lo largo del eje Z. En realidad, ambos procesos ocurren simultáneamente con la única restricción de que T2 es menor o igual a T1.

Dos factores el al decaimiento de la magnetización transversal.
1) interacciones moleculares (que producen un efecto T2 puro a nivel molecular )
2) variaciones de Bo (que producen un efecto T2 por inhomogeneidad )
La relación entre el T2 debido a procesos moleculares y el T2 debido a inhomogeneidades del campo magnético es lo que realmente provoca el decaimiento de la magnetización transversal. La constante de tiempo combinada se denomina T2 estrella y se le asigna el símbolo T2*. La relación entre el T2 debido a procesos moleculares y el T2 debido a inhomogeneidades del campo magnético es la siguiente.

1/T2* = 1/T2 + 1/T2inhomo.

Sistema de Referencia Rotatorio

Hemos visto el comportamiento de los espines en un sistema de referencia de laboratorio. Pero resulta conveniente definir un sistema de referencia rotatorio que gire en torno al eje Z, a la frecuencia de Larmor. Distinguiremos este sistema de referencia rotatorio del sistema de laboratorio mediante X prima e Y prima, X’Y’  

Un vector de magnetización girando a la frecuencia de Larmor en el sistema de laboratorio, aparecerá estacionario en el sistema de referencia rotatorio en torno al eje Z. En el sistema rotatorio, la relajación de la magnetización Mz a su valor de equilibrio se ve igual que en el sistema de laboratorio

Un vector de magnetización transversal que gira en torno al eje Z, a la misma velocidad que el sistema rotatorio, aparecerá estacionario en el sistema rotatorio   Un vector de magnetización que viaje más rápido que el sistema rotatorio, gira en sentido horario en torno al eje Z.  Un vector de magnetización que viaja más lento que el sistema rotatorio, gira en sentido antihorario en torno al eje Z.  

En una muestra, hay paquetes de espines que se mueven más rápido o más lento que el sistema rotatorio. En consecuencia, cuando la frecuencia promedio de la muestra iguala a la del sistema rotatorio, el desfase de MX'Y' aparece de la siguiente forma. 

Campos Magnéticos Pulsados

Una bobina de alambre, colocada alrededor del eje X, producirá un campo magnético a lo largo del eje X cuando se hace circular una corriente continua a través de la bobina.   Una corriente alterna producirá un campo magnético que alterna su dirección.  

En un sistema de referencia rotatorio en torno al eje Z a un frecuencia igual al de la corriente alterna, el campo magnético a lo largo del eje X’ será constante, exactamente como en el caso de la corriente continua en el sistema de laboratorio.  

Esto equivale a mover la bobina en torno al sistema de referencia rotatorio a la Frecuencia de Larmor. En la resonancia magnética, el campo magnético creado por la corriente alterna que circula por la bobina a la frecuencia de Larmor se denomina campo magnético B1 Cuando la corriente alterna a través de la bobina se enciende y apaga, crea un campo magnético B1 pulsado a lo largo del eje X’.

Los espines responden a este pulso de forma tal que el vector de magnetización neta rota en torno a la dirección del campo B1 aplicado. El ángulo de rotación dependerá del tiempo que permanece encendido el campo,   , y la magnitud de B1.

= 2   B1.

En nuestros ejemplos,se presume que   es mucho menor que T1 and T2.

Un pulso de 90o rota 90o el vector de magnetización en sentido horario en torno al eje X’. Entonces, un pulso de 90º rota la magnetización en equilibrio hacia el eje Y’.   En el sistema de referencia de laboratorio, la magnetización en equilibrio realiza una espiral descendente en torno al eje Z hasta el plano XY.   Por ello, el sistema de referencia rotatorio es útil para describir el comportamiento de la magnetización en respuesta a un campo magnético pulsado

Un pulso de 180º rotará el vector de magnetización en 180º. Un pulso de 180º rota la magnetización en equilibrio hacia el eje Z-.  

La magnetización neta en cualquier orientación se comportará de acuerdo a la ecuación de rotación. Por ejemplo, un vector de magnetización neta a lo largo del eje Y’ terminará a lo largo del eje Y’- cuando se le aplique un pulso B1 de 180º a lo largo del eje X’.  

Un vector de magnetización neta entre X’ e Y’ terminará entre X’ e Y’-, después de aplicar un pulso B1 de 180º, a lo largo del eje X’ 

Se puede utilizar también una matriz de rotación (descripta como transformación de coordenadas en el Capítulo 2) para predecir el resultado de una rotación. Aquí,  es el ángulo de rotación en torno al eje, X’ [X', Y', Z] es la ubicación inicial del vector, e [X", Y", Z"] es la ubicación del vector después de la rotación.

Relajación del Espín

Los movimientos en una solución inducen campos magnéticos variables en el tiempo, que provocan la relajación del espín.   

Los campos variables en el tiempo a la frecuencia de Larmor, provocan transiciones entre los estados del espín y, por lo tanto, un cambio de Mz. La siguiente pantalla reproduce el campo del hidrógeno verde en la molécula de agua, mientras gira en torno al campo magnético externo B0 y el campo magnético del hidrógeno azul.  Note que el campo que experimenta el hidrógeno verde es senoidal

En una muestra de moléculas, se observa una distribución de las frecuencias de rotación. Solo las frecuencias a la frecuencia de Larmor afectan al T1. Como la frecuencia de Larmor es proporcional a B0, el T1 variará en función de la intensidad del campo magnético.   En general, el T1 es inversamente proporcional a la densidad de los movimientos moleculares a la frecuencia de Larmor.

La distribución de las frecuencias de rotación depende de la temperatura y la viscosidad de la solución. Por lo tanto, el T1 variará en función de la temperatura.   A la frecuencia de Larmor indicada por,  o, T1 (280 K ) < T1 (340 K). La temperatura del cuerpo humano no varía en tal medida como para causar cambios importantes del T1. Sin embargo, la viscosidad varia significativamente entre tejidos y afecta al T1, como se puede apreciar en el siguiente gráfico de movimiento molecular. 

Los campos fluctuantes, que perturban los niveles de energía de los estados del espín, provocan el desfase de la magnetización transversal. Esto se puede observar en el siguiente gráfico del B0 experimentado por los hidrógenos rojos en una molécula de agua  El número de moléculas, que se mueven a menor o igual frecuencia que la frecuencia de Larmor, es inversamente proporcional a T2.

En general, los tiempos de relajación se prolongan a medida que aumenta B0 porque hay menos componentes de frecuencia induciendo relajación en los movimientos aleatorios de las moléculas.

Ecuaciones de Bloch

Las ecuaciones de Bloch son un conjunto de ecuaciones diferenciales que se utilizan para describir el comportamiento de un vector de magnetización en cualquier circunstancia.   Cuando se las integra correctamente, las ecuaciones de Bloch dan como resultado las componentes de X’, Y’ y Z’ en función del tiempo.


Problemas

  1. Muchos equipos para imágenes por resonancia magnética operan con una intensidad de campo magnético de 1.5 Tesla. Muy pocos equipos para investigación operan a 4.7 Tesla. ¿Cuál es la frecuencia de resonancia de los siguientes núcleos para cada campo magnético?
    1H
    23Na
    31P

  2. ¿Un fotón de qué energía puede absorber un núcleo de 1H en un campo magnético de 1.5 Tesla? ¿Cómo compara esta energía con un fotón de rayos-x de energía de 2x1019 Hz? ¿Cuál es el potencial de ionización para una molécula orgánica típica? ¿Cuál de los dos fotones ionizará la molécula? 

  3. En base a la estadística de Boltzmann, ¿qué molécula de la pregunta uno tendrá mayor señal? ¿Con qué campo magnético será mayor la señal? En base a la abundancia natural y biológica ¿qué núcleo tendrá mayor señal? 

  4. Una muestra tiene un T1 de 1.0 segundos. Si la magnetización neta se lleva a cero, ¿cuánto tiempo tardará la magnetización neta en recuperar el 99% de su valor en equilibrio? 

  5. Una muestra tiene un T2 de 100 ms ¿Cuánto tiempo tardará la magnetización transversal en decaer al 37% de su valor inicial? 

  6. Una muestra de hidrógeno esta en equilibrio en un campo magnético de 1.5 Tesla. Un campo magnético constante B1 de 1.17x10-4 Tesla se aplica a lo largo del eje X’- durante 50 microsegundos. ¿En qué dirección apunta el vector de magnetización neta después que se apaga el campo B1 

  7. 7.Calcule la constante de tiempo de relajación espín-red en base al siguiente gráfico de Mz(t).

     

  8. .Los primeros equipos para imagen por resonancia magnética operaban con un campo magnético de 0.3 Tesla. Los equipos actuales operan a 1.5 Tesla ¿Cuál es la frecuencia de resonancia de los siguientes núcleos para cada campo magnético?

    1H
    23Na
    31P

  9. ¿Un fotón de qué energía puede absorber un núcleo de 1H en un campo magnético de 1.5 Tesla? ¿Cómo compara esta energía con un fotón de rayos-x de energía de 2x1019 Hz? ¿Cuál es el potencial de ionización para una molécula orgánica típica? ¿Cuál de los dos fotones ionizará la molécula?

  10. En base a la estadística de Boltzmann, ¿qué molécula de la pregunta uno tendrá mayor señal? ¿Con qué campo magnético será mayor la señal? En base a la abundancia natural y biológica ¿qué núcleo tendrá mayor señal?

  11. Una muestra tiene un T1 de 0.8 segundos. Si la magnetización neta se lleva a cero y luego se le permite retornar a su valor de equilibrio ¿qué proporción de la magnetización en equilibrio estará presente después de 1.0 segundos?

  12. Una muestra tiene un T2 de 50 ms. La magnetización neta se rota al plano xy y se deja decaer ¿Qué proporción de la magnetización transversal estará presente 20 ms después de su rotación al plano xy?

  13. Una muestra de hidrógeno esta en equilibrio en un campo magnético de 1.5 Tesla. Un campo magnético constante B1 de 2.34x10-4 Tesla se aplica a lo largo del eje X’+ durante 25 microsegundos. ¿En qué dirección apunta el vector de magnetización neta después que se apaga el campo B1?


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