The Basics of MRI

Capitolo 3

LA FISICA DEGLI SPIN



Lo spin

Che cos'è lo spin? Lo spin è una proprietà fondamentale della natura come la carica elettrica o la massa. Lo spin assume valori multipli di 1/2 e può essere positivo (+) o negativo (-). I protoni, gli elettroni e i neutroni possiedono uno spin. Ogni singolo elettrone, protone e neutrone possiede uno spin di 1/2.

In un atomo di deuterio ( 2H ), con un elettrone spaiato, un protone spaiato ed un neutrone spaiato, quindi, lo spin elettronico totale è 1/2 e lo spin nucleare totale è 1.  

Due o più particelle con spin di segno opposto possono appaiarsi ed annullare gli effetti misurabili dello spin risultante. Ne è un esempio l'elio.   Come vedremo nelle sezioni seguenti, sono gli spin nucleari spaiati ad essere importanti nell'NMR.

Nuclei con spin

I nuclei sono costituiti da protoni e neutroni tenuti insieme da forze nucleari. Protoni e neutroni hanno approssimativamente la stessa massa (circa 1840 volte quella dell'elettrone) e ad essi ci si riferisce collettivamente col termine nucleoni. Il modello a shell dei nuclei stabilisce che i nucleoni, così come gli elettroni atomici, riempiono degli orbitali. Quando il numero di protoni o neutroni è uguale a 2, 8, 20, 28, 50, 82 e 126, gli orbitali sono pieni. Poiché i nucleoni hanno spin, nel riempire gli orbitali possono appaiarsi (spin up-spin down, così come avviene per gli elettroni negli orbitali atomici) annullando la risultante. Quasi tutti gli elementi della tavola periodica hanno un isotopo con uno spin nucleare diverso da zero. L'NMR può essere eseguita soltanto su isotopi con uno spin nucleare risultante non nullo (i.e. con spin nucleari spaiati) e la cui abbondanza naturale sia sufficientemente alta da poter essere rilevata. Alcuni nuclei che sono di interesse in MRI sono elencati di seguito.

Nuclei  Protoni Spaiati  Neutroni Spaiati  Spin Risultante  γ (MHz/T) 
1H 1/2  42.58 
2H 6.54 
31P 1/2  17.25 
23Na 1 3/2  11.27 
14N 3.08 
13C 1/2  10.71 
19 1/2  40.08 

Livelli energetici

Per capire come si comportano le particelle con spin in un campo magnetico, considerate un protone. Il protone possiede la proprietà chiamata spin. Pensate allo spin come ad un vettore di momento magnetico, che fa sì che il protone si comporti come un piccolo magnete con un polo nord ed un polo sud.

Quando il protone si trova in un campo magnetico esterno, il suo spin si allinea con il campo magnetico esterno, proprio come farebbe un magnete. C'è una configurazione o stato di bassa energia in cui i poli sono allineati N-S-N-S   e uno stato di alta energia N-N-S-S.  

Transizioni NMR

Quando è posizionata in un campo magnetico di intensità B, una particella con uno spin risultante non nullo può assorbire un fotone, di frequenza ν. La frequenza ν, oltre che dall'intensità di campo magnetico, dipende dal rapporto giromagnetico  γ della particella.

ν = γ B

Per l'idrogeno, γ=42.58 MHz / T.

L'assorbimento di un fotone può indurre una transizione tra i due stati energetici della particella. Una particella nello stato di energia più basso assorbe un fotone e passa nello stato energetico superiore. L'energia di questo fotone deve essere esattamente pari alla differenza di energia tra i due stati.
L'energia, E, di un fotone è in relazione alla sua frequenza ν, per mezzo della costante di Planck (h = 6.626x10-34 J s).

E = h ν 

In NMR e MRI, la quantità  ν è detta rispettivamente frequenza di risonanza e frequenza di Larmor.

Diagrammi dei livelli di energia

L'energia dei due stati dello spin può essere rappresentata da un diagramma dei livelli di energia. Avete visto che ν=γB e E=hν, quindi l'energia di cui il fotone ha bisogno per provocare una transizione tra due stati dello spin è

E = h γ B

Quando l'energia del fotone eguaglia la differenza energetica tra i due stati dello spin si verifica un assorbimento di energia (condizione di risonanza). 

Negli esperimenti NMR la frequenza del fotone si trova nel range delle radiofrequenze (RF). Nella spettroscopia NMR, ν è tra i 60 e gli 800 MHz per i nuclei di idrogeno; nell'MRI clinica, ν è tipicamente tra 15 e 80 MHz per l'imaging con nuclei di idrogeno.

L'osservazione del fenomeno di risonanza

L'esperimento più semplice che è possibile condurre per rendersi conto dell'esistenza del fenomeno di risonanza è quello cosiddetto a onda continua. Ci sono due modi per eseguirlo. Nel primo, si varia lentamente il campo magnetico cui è sottoposto il campione di spin mentre un segnale RF di frequenza costante esplora i livelli di energia. Quando la differenza di energia tra i due stati di spin del campione è pari all'energia del segnale RF, ha luogo la risonanza e si registra l'assorbimento del segnale RF. L'energia di questa frequenza è rappresentata nel diagramma dei livelli di energia dalla linea blu.

In alternativa, l'esperimento può essere eseguito in un campo magnetico costante variando la frequenza dell'impulso RF. L'intensità del campo magnetico costante è rappresentata nel diagramma dei livelli di energia dalla posizione della linea blu verticale.

Statistica di Boltzmann

Quando un gruppo di spin viene posizionato in un campo magnetico, ciascuno spin si orienta secondo una delle due possibili orientazioni.

A temperatura ambiente, il numero degli spin nel livello energetico più basso, N+, supera lievemente il numero di quelli nel livello energetico superiore, N-. La statistica di Boltzmann ci dice che

N-/N+ = e-ΔE/kT

dove: ΔE è la differenza energetica tra gli stati degli spin; k è la costante di Boltzmann, 1.3805x10-23 J/Kelvin; T è la temperatura in gradi Kelvin.

Al diminuire della temperatura, il rapporto N-/N+ diminuisce. All'aumentare della temperatura, il rapporto si avvicina a 1.

Nella spettroscopia NMR il segnale risulta dato dalla differenza tra l'energia assorbita dagli spin che fanno una transizione dallo stato energetico più basso a quello più alto e l'energia emessa dagli spin che simultaneamente fanno una transizione dal livello energetico più alto a quello più basso. Il segnale è così proporzionale alla differenza di popolazione tra i due stati. L'NMR è una tecnica spettroscopica piuttosto sensibile dal momento che è in grado di rilevare differenze di popolazioni molto piccole. E' il fenomeno della risonanza, ovvero lo scambio di energia ad una frequenza specifica tra gli spin e lo spettrometro che dà all'NMR la sua sensibilità.

Sono degni di nota a questo punto altri due fattori che influenzano il segnale MRI: l'abbondanza naturale dell'isotopo e l'abbondanza biologica. L'abbondanza naturale di un isotopo è la percentuale di nuclei aventi un dato numero di protoni e di neutroni, ovvero un dato peso atomico. Ad esempio, ci sono tre isotopi dell'idrogeno, 1H, 2H e 3H. L'abbondanza naturale di 1H è 99.985%. La seguente tabella elenca l'abbondanza naturale di alcuni dei nuclei studiati con l'MRI

ElementoSimboloAbbondanza
Naturale
Idrogeno1H99.985
2H0.015
Carbonio13C1.11
Azoto14N99.63
15N0.37
Sodio23Na100
Fosforo31P100
Potassio39K93.1
Calcio43Ca0.145
 

L'abbondanza biologica è la percentuale di un determinato tipo di atomo all'interno del corpo umano.  La seguente tabella elenca l'abbondanza biologica di alcuni nuclei studiati con l'MRI.

ElementoAbbondanza
Biologica*
Idrogeno (H) 0.63
Carbonio (C) 0.094
Azoto (N) 0.015
Sodio (Na) 0.00041
Fosforo (P) 0.0024
Ossigeno (O) 0.26
Calcio (Ca) 0.0022
* Dato calcolato da .

Pacchetti di spin

E' difficile descrivere l'NMR su scala microscopica. Risulta più conveniente la descrizione macroscopica. Il primo passaggio nello sviluppo della descrizione macroscopica è definire il pacchetto di spin. Il pacchetto di spin è un gruppo di spin che sono soggetti allo stesso campo magnetico. In questo esempio, un pacchetto di spin è rappresentato dagli spin presenti in ciascuna sezione della griglia.  

In ogni istante, il campo magnetico dovuto ad ogni pacchetto di spin può essere rappresentato come un vettore di magnetizzazione.  

L'intensità di ogni vettore di magnetizzazione è proporzionale a (N+ - N-).

La somma vettoriale dei vettori di magnetizzazione provenienti da tutti i pacchetti di spin è la magnetizzazione risultante (o magnetizzazione "netta"). Per descrivere l'NMR pulsata è necessario parlare d'ora in poi in termini di magnetizzazione risultante.  

Adottando un sistema di coordinate nel quale l'asse Z è lungo la direzione del campo magnetico esterno (sistema convenzionale di coordinate NMR), avremo che, all'equilibrio, anche il vettore di magnetizzazione risultante sarà lungo l'asse Z.  

Tempo di rilassamento spin-reticolo (T1)

All'equilibrio, il vettore di magnetizzazione risultante giace lungo la direzione del campo magnetico statico Bo ed è chiamato magnetizzazione all'equilibrio Mo. In questa configurazione, la componente Z del vettore di magnetizzazione MZ è uguale a Mo. MZ è conosciuta come magnetizzazione longitudinale. In questo caso non c'è componente del vettore di magnetizzazione nel piano XY (magnetizzazione trasversale MXY).  

E' possibile deviare il vettore di magnetizzazione dalla sua posizione di equilibrio esponendo il sistema di spin dei nuclei ad una energia di frequenza pari alla differenza di energia tra gli stati degli spin. Se si cede sufficiente energia, è possibile saturare il sistema di spin ed ottenere MZ = 0. 

Al termine dell'eccitazione il sistema ritorna alla sua condizione di equilibrio. La costante di tempo che descrive il ritorno all'equilibrio della magnetizzazione longitudinale, MZ, è chiamata tempo di rilassamento spin-reticolo (T1). L'equazione che descrive questo fenomeno in funzione del tempo t a partire dal suo abbattimento è:

Mz = Mo ( 1 - e-t/T1

T1 è quindi definito come il tempo necessario per cambiare il valore della componente Z del vettore magnetizzazione di un fattore e

Se il vettore di magnetizzazione risultante è posto lungo l'asse -Z, gradualmente ritornerà alla sua posizione di equilibrio sull'asse +Z ad una velocità regolata dal T1 L'equazione che descrive questo fenomeno in funzione del tempo t a partire dal suo abbattimento è:

Mz = Mo ( 1 - 2e-t/T1

Ancora una volta, il tempo di rilassamento spin-reticolo (T1) è il tempo necessario a ridurre la differenza tra la magnetizzazione longitudinale (MZ) e il suo valore di equilibrio di un fattore e.

Precessione

Se il vettore di magnetizzazione ha una componente non nulla nel piano XY  , esso ruoterà attorno all'asse Z ad una frequenza uguale alla frequenza del fotone che ha causato la transizione tra i due livelli di energia dello spin. Questa frequenza è chiamata frequenza di Larmor   ed il relativo moto di rotazione del vettore di magnetizzazione, "precessione".

Tempo di rilassamento spin-spin (T2)

Oltre a ruotare, la magnetizzazione risultante comincia a perdere fase poiché ognuno dei pacchetti di spin che la costituiscono è sottoposto ad un campo magnetico leggermente diverso e ruota ad una propria frequenza di Larmor. Più tempo passa, maggiore è la differenza di fase. Qui il vettore di magnetizzazione risultante è inizialmente sull'asse +Y. Per questo e per tutti gli esempi di perdita di fase, si pensa a questo vettore come sovrapposizione di molti vettori più piccoli prodotti dai singoli pacchetti di spin.  

La costante di tempo che descrive il ritorno all'equilibrio della magnetizzazione trasversale, MXY, è chiamata tempo di rilassamento spin-spin, T2.

MXY =MXY0 e-t/T2 

T2 è sempre minore o uguale a T1. La magnetizzazione risultante nel piano XY va a zero e allo stesso tempo la magnetizzazione longitudinale cresce finché lungo l'asse Z non si avrà di nuovo il valore Mo.  

Qualsiasi magnetizzazione trasversale si comporta allo stesso modo.   La componente trasversale ruota attorno alla direzione di applicazione del campo magnetico e perde fase. Il T1 regola la velocità di recupero della magnetizzazione longitudinale; il T2 la velocità con cui la magnetizzazione trasversale va a zero.

Riassumendo, il tempo di rilassamento spin-spin, T2, è il tempo necessario per ridurre la magnetizzazione trasversale di un fattore e. Nella sequenza precedente, per chiarezza, i processi T2 e T1 sono stati mostrati separatamente. In realtà, entrambi i processi accadono simultaneamente, con l'unica restrizione che T2 è sempre minore o al massimo uguale a T1.

Due fattori contribuiscono al decadimento della magnetizzazione trasversale:
1) interazioni molecolari (che portano ad un effetto molecolare detto T2 puro)
2) variazioni del Bo (che portano ad un effetto detto T2 di disomogeneità di campo).
La combinazione di questi due fattori è quella che realmente si verifica nel decadimento della magnetizzazione trasversale. La costante di tempo "combinata" è chiamata T2 star ed è contraddistinta dal simbolo T2*. La relazione tra il T2 derivante da processi molecolari e quello dovuto a disomogeneità di campo magnetico è la seguente:

1/T2* = 1/T2 + 1/T2disomog

Sistemi di riferimento rotanti

Abbiamo appena visto il comportamento degli spin nel sistema di riferimento del laboratorio. Risulta conveniente introdurre un sistema di riferimento rotante attorno all'asse Z alla frequenza di Larmor. Distinguiamo questo sistema di coordinate che ruota dal sistema del laboratorio dagli apici apposti sui nomi degli assi X e Y, X' Y'. 

Un vettore di magnetizzazione che ruota alla frequenza di Larmor nel sistema del laboratorio appare stazionario in un sistema di riferimento rotante attorno all'asse Z. Nel sistema di riferimento rotante, il rilassamento del vettore di magnetizzazione Mz al suo valore di equilibrio sarà lo stesso che nel sistema di riferimento del laboratorio.

Un vettore di magnetizzazione trasversale che ruota attorno all'asse Z alla stessa velocità del sistema rotante apparirà stazionario in quest'ultimo.   Un vettore di magnetizzazione che viaggia più veloce, rispetto al sistema rotante, ruota in senso orario attorno all'asse Z.   Un vettore di magnetizzazione che viaggia più lento, rispetto al sistema rotante, ruota in senso anti-orario attorno all'asse Z.  

In un campione ci sono pacchetti di spin che viaggiano più velocemente e più lentamente rispetto al sistema rotante. Di conseguenza, quando la frequenza media del campione è uguale a quella del sistema di riferimento rotante, lo sfasamento di MX'Y' apparirà così.  

Impulsi di radiofrequenza

Una spira di filo metallico posta attorno all'asse X quando percorsa da una corrente continua produce un campo magnetico lungo l'asse X.   La stessa spira percorsa da una corrente alternata produce invece un campo magnetico che alterna la sua direzione.  

Nel sistema di riferimento rotante attorno all'asse Z ad una frequenza uguale a quella della corrente alternata, il campo magnetico lungo l'asse X' sarà costante, proprio come nel caso di una corrente continua nel sistema del laboratorio.  

Lo stesso risultato si avrebbe muovendo la bobina attorno al sistema di riferimento rotante alla frequenza di Larmor. In risonanza magnetica, il campo magnetico creato dalla bobina attraversata da una corrente alternata alla frequenza di Larmor è chiamato campo magnetico B1. Quando la corrente alternata attraverso la bobina viene accesa e spenta, si crea un campo magnetico pulsato B1 lungo l'asse X'.

Gli spin rispondono a questo impulso in modo tale che il vettore di magnetizzazione ruoti attorno alla direzione cui è applicato il campo magnetico B1. L'angolo di rotazione (flip-angle in inglese) dipende dall'intervallo di tempo τ in cui il campo magnetico B1 è acceso e dalla sua intensità.

ϑ= 2π γ B1τ

Nei nostri esempi assumeremo τ essere molto più piccolo di T1 e T2.

Un impulso a 90o è un impulso che ruota il vettore di magnetizzazione in senso orario di 90 gradi attorno all'asse X'. Un impulso a 90o ruota la magnetizzazione all'equilibrio in giù nel piano X'Y'.   Nel sistema di riferimento del laboratorio la magnetizzazione all'equilibrio descrive una spirale attorno all'asse Z fino al piano XY.   Ci si può ora rendere conto del perché il sistema di riferimento rotante è utile nel descrivere il comportamento della magnetizzazione in risposta ad un campo magnetico pulsato.

Un impulso a 180o ruota il vettore di magnetizzazione di 180 gradi (anche detto impulso di inversione). Un impulso a 180o ruota la magnetizzazione all'equilibrio in giù fino all'asse -Z.  

La magnetizzazione risultante, a partire da qualsiasi orientamento, si comporterà secondo l'equazione di rotazione. Per esempio, un vettore di magnetizzazione lungo l'asse Y' finirà lungo l'asse -Y' se su di esso agirà un impulso a 180o di B1 diretto lungo l'asse X'.  

Un vettore di magnetizzazione tra X' e Y' finirà tra X' e -Y' dopo l'applicazione di un impulso a 180o di B1 applicato lungo l'asse X'.  

Per predire il risultato di una rotazione possiamo far uso di una matrice di rotazione (descritta nel Capitolo 2 nella sezione "trasformazioni di coordinate"); se ϑ è l'angolo di rotazione attorno all'asse X', [ X', Y', Z ] le coordinate iniziali del vettore e [ X", Y", Z" ] le coordinate del vettore dopo la rotazione, si ha:

Nel seguito faremo riferimento a brevi attivazioni e variazioni del campo magnetico B1 in termini di impulsi di radiofrequenza o impulsi RF.

Rilassamento degli spin

Moti in soluzione, che si traducono in campi magnetici variabili nel tempo, causano un rilassamento degli spin.   

Campi che variano nel tempo alla frequenza di Larmor causano transizioni tra gli stati di spin e dunque una variazione di MZ. Questa animazione mostra il campo magnetico visto dall'idrogeno verde della molecola di acqua quando ruota attorno ad un campo magnetico esterno Bo e un campo magnetico prodotto dall'idrogeno blu.   Si noti che il campo visto dall'idrogeno verde è sinusoidale.

In un campione di molecole vi è una distribuzione di frequenze di rotazione. Soltanto le frequenze uguali alla frequenza di Larmor hanno effetto sul T1. Dal momento che la frequenza di Larmor è proporzionale a Bo, T1 varierà in funzione dell'intensità del campo magnetico.  In generale, T1 è inversamente proporzionale alla densità dei moti molecolari alla frequenza di Larmor.

La distribuzione delle frequenze di rotazione dipende dalla temperatura e dalla viscosità della soluzione. Quindi T1 varierà in funzione della temperatura.  Alla frequenza di Larmor indicata con νo, T1 (280 K) è minore di T1 (340 K). La temperatura del corpo umano non varia in maniera tale da influenzare significativamente il T1. La viscosità, però, varia significativamente da tessuto a tessuto e influenza il T1 come si vede nel seguente grafico del moto molecolare.  

Fluttuazioni dei campi magnetici in grado di perturbare i livelli di energia degli stati di spin sono anche causa dello sfasamento della magnetizzazione trasversale. Ciò si può vedere osservando il grafico del campo Bo subito dagli idrogeni rossi delle seguenti molecole di acqua.   Il numero di moti molecolari minori e uguali alla frequenza di Larmor è inversamente proporzionale al T2.

In generale, i tempi di rilassamento aumentano all'aumentare di Bo perché nei moti casuali delle molecole sono presenti meno componenti in frequenza che causano rilassamento.

Equazioni di Bloch

Le equazioni di Bloch sono un insieme di equazioni differenziali che possono essere usate per descrivere il comportamento di un vettore di magnetizzazione in ogni condizione.  Quando propriamente integrate, le equazioni di Bloch forniscono le componenti X', Y' e Z della magnetizzazione come funzioni del tempo.


Esercizi

  1. Molti apparecchi di risonanza magnetica operano con un campo magnetico di intensità 1.5 Tesla. Alcune unità per scopi di ricerca operano a 4.7 Tesla. Qual è la frequenza di risonanza dei nuclei elencati di seguito per ciascuna intensità di campo?
  2. 1H
    23Na
    31P

  3. Qual è l'energia del fotone assorbito da un nucleo 1H in un campo magnetico di 1.5 Tesla? Come si confronta in energia con un raggio X di frequenza 2x1019 Hz? Qual è il potenziale di ionizzazione per una tipica molecola organica? Quale dei due fotoni ionizzerà la molecola?  
  4. Sulla base della statistica di Boltzmann, quale molecola dell'esercizio 1 avrà il segnale più grande? A quale intensità di campo si avrà il segnale più grande? Sulla base dell'abbondanza naturale e biologica quale nucleo avrà il segnale più grande?  
  5. Un campione ha un T1 di 1.0 secondo. Se la magnetizzazione risultante è posta uguale a zero, quale sarà il tempo richiesto affinché la magnetizzazione risultante recuperi il 98% del suo valore di equilibrio?  
  6. Un campione ha un T2 di 100 ms. Qual è il tempo necessario affinché una qualsiasi magnetizzazione trasversale decada al 37% del suo valore iniziale?  
  7. Un campione di idrogeno è all'equilibrio in un campo magnetico da 1.5 Tesla. Un campo magnetico costante B1 di 1.17x10-4 Tesla è applicato lungo l'asse +X' per 50 microsecondi. Quale è la direzione del vettore di magnetizzazione risultante dopo che il campo B1 è terminato?  
  8. Valutate la costante tempo rilassamento spin-reticolo basandovi sul seguente grafico di Mz(t).

     

  9. Alcuni dei primi apparecchi di risonanza magnetica operavano con una intensità di campo magnetico di 0.3 Tesla. Molti apparecchi attualmente operano a 1.5 Tesla. Quale è la frequenza di risonanza dei nuclei elencati di seguito in ognuno dei campi magnetici?

    1H
    23Na
    31P
  10. Qual è l'energia del fotone assorbito da un nucleo di 1H in un campo magnetico da 1.5 Tesla? Come si confronta questo valore con quello di un raggio X di frequenza pari a 2x1019 Hz? Qual è il potenziale di ionizzazione per una tipica molecola organica? Quale dei due fotoni ionizzerà la molecola?

  11. Sulla base della statistica di Boltzmann, quale molecola della domanda 1 avrà il segnale più grande? A quale intensità di campo si avrà il segnale più grande? Sulla base dell'abbondanza naturale e biologica quale nucleo avrà il segnale più grande?

  12. Un campione ha un T1 di 0.8 secondi. La magnetizzazione risultante del campione è posta uguale a zero e quindi viene lasciata recuperare il suo valore di equilibrio. Dopo 1.0 secondo quale frazione del valore di magnetizzazione di equilibrio sarà presente?

  13. Un campione ha un T2 di 50 ms. La magnetizzazione risultante è ruotata nel piano xy e lasciata decadere. Quanta magnetizzazione trasversale sarà presente 20 ms dopo essere stata posizionata nel piano?

  14. Un campione di idrogeno si trova all'equilibrio in un campo magnetico da 1.5 Tesla. Un campo costante B1 di 2.34x10-4 Tesla viene applicato lungo l'asse +x' per 25 microsecondi. Qual è la direzione del vettore di magnetizzazione risultante dopo che il campo B1 è terminato?


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