The Basics of MRI

Capitolo 3

LA FISICA DEGLI SPIN



Lo spin

Che cos'è lo spin? Lo spin è una proprietà fondamentale della natura come la carica elettrica o la massa. Lo spin assume valori multipli di 1/2 e può essere positivo (+) o negativo (-). I protoni, gli elettroni e i neutroni possiedono uno spin. Ogni singolo elettrone, protone e neutrone possiede uno spin di 1/2.

In un atomo di deuterio ( 2H ), con un elettrone spaiato, un protone spaiato ed un neutrone spaiato, quindi, lo spin elettronico totale è 1/2 e lo spin nucleare totale è 1.  

Due o più particelle con spin di segno opposto possono appaiarsi ed annullare gli effetti misurabili dello spin risultante. Ne è un esempio l'elio.   Come vedremo nelle sezioni seguenti, sono gli spin nucleari spaiati ad essere importanti nell'NMR.

Nuclei con spin

I nuclei sono costituiti da protoni e neutroni tenuti insieme da forze nucleari. Protoni e neutroni hanno approssimativamente la stessa massa (circa 1840 volte quella dell'elettrone) e ad essi ci si riferisce collettivamente col termine nucleoni. Il modello a shell dei nuclei stabilisce che i nucleoni, così come gli elettroni atomici, riempiono degli orbitali. Quando il numero di protoni o neutroni è uguale a 2, 8, 20, 28, 50, 82 e 126, gli orbitali sono pieni. Poiché i nucleoni hanno spin, nel riempire gli orbitali possono appaiarsi (spin up-spin down, così come avviene per gli elettroni negli orbitali atomici) annullando la risultante. Quasi tutti gli elementi della tavola periodica hanno un isotopo con uno spin nucleare diverso da zero. L'NMR può essere eseguita soltanto su isotopi con uno spin nucleare risultante non nullo (i.e. con spin nucleari spaiati) e la cui abbondanza naturale sia sufficientemente alta da poter essere rivelata. Alcuni nuclei che sono di interesse in MRI sono elencati di seguito.

Nuclei  Protoni
 spaiati 
Neutroni
 spaiati 
Spin
 risultante 
γ (MHz/T) 
1H 1/2  42.58 
2H 6.54 
31P 1/2  17.25 
23Na 1 3/2  11.27 
14N 3.08 
13C 1/2  10.71 
19 1/2  40.08 

Livelli di energia e transizioni NMR

Per capire come si comportano le particelle con spin in un campo magnetico di intensità Bo, considerate un protone. Il protone possiede la proprietà chiamata spin. Si pensi allo spin come ad un vettore di momento magnetico, che fa sì che il protone si comporti come un piccolo magnete con un polo nord ed un polo sud.

Quando il protone si trova in un campo magnetico esterno, il suo spin si allinea con il campo magnetico esterno, proprio come farebbe un magnete. C'è una configurazione o stato di bassa energia in cui i poli sono allineati N-S-N-S   e uno stato di alta energia N-N-S-S.  

L'energia dei due stati dello spin può essere rappresentata da un diagramma dei livelli di energia.

L'assorbimento di un fotone è in grado di indurre una transizione tra i due stati energetici di una particella facendola passare dallo stato di bassa energia allo stato di più alta energia. L'energia di questo fotone deve essere esattamente pari alla differenza di energia tra i due stati.

L'energia E di un fotone è in relazione alla sua frequenza ν per mezzo della costante di Planck (h = 6.626x10-34 J s).

E = h ν 

La frequenza ν, oltre che dall'intensità di campo magnetico, dipende dal rapporto giromagnetico  γ della particella.

ν = γ Bo

Per l'idrogeno, γ = 42.58 MHz / T.

L'energia di cui il fotone ha bisogno per provocare una transizione tra due stati dello spin (condizione di risonanza) può essere così riscritta:

E = h γ Bo

La frequenza ν è detta frequenza di risonanza o frequenza di Larmor.

Negli esperimenti NMR la frequenza del fotone si trova nel range delle radiofrequenze (RF). Nella spettroscopia NMR, ν è tra i 60 e gli 800 MHz per i nuclei di idrogeno; nell'MRI clinica, ν è tipicamente tra 15 e 80 MHz per l'imaging con nuclei di idrogeno.

L'osservazione del fenomeno di risonanza

L'esperimento più semplice che è possibile condurre per rendersi conto dell'esistenza del fenomeno di risonanza è quello cosiddetto a onda continua. Ci sono due modi per eseguirlo. Nel primo, si varia lentamente il campo magnetico cui è sottoposto il campione di spin mentre un segnale RF di frequenza costante esplora i livelli di energia. Quando la differenza di energia tra i due stati di spin del campione è pari all'energia del segnale RF, ha luogo la risonanza e si registra l'assorbimento del segnale RF. L'energia di questa frequenza è rappresentata nel diagramma dei livelli di energia dalla linea "blu".

In alternativa, l'esperimento può essere eseguito in un campo magnetico costante, variando la frequenza dell'impulso RF. L'intensità del campo magnetico costante è rappresentata nel diagramma dei livelli di energia dalla posizione della linea "blu" verticale.

Popolazione dei livelli di energia

Quando un gruppo di spin viene immerso in un campo magnetico, ciascuno spin si orienta secondo una delle due possibili orientazioni.

A temperatura ambiente, il numero degli spin nel livello energetico più basso, N+, supera lievemente il numero di quelli nel livello energetico superiore, N-. Il rapporto tra le popolazioni dei due stati di spin è dato dalla statistica di Boltzmann:

N-/N+ = e-ΔE/kT

dove ΔE è la differenza energetica tra gli stati di spin, k è la costante di Boltzmann, 1.3805x10-23 J/Kelvin; T è la temperatura in gradi Kelvin.

Al diminuire della temperatura, il rapporto N-/N+ diminuisce; all'aumentare della temperatura, il rapporto si avvicina a 1.

Il segnale in risonanza magnetica ha origine dalla differenza tra l'energia assorbita dagli spin che fanno una transizione dallo stato energetico più basso a quello più alto e l'energia emessa dagli spin che simultaneamente fanno una transizione dal livello energetico più alto a quello più basso. Il segnale è, così, proporzionale alla differenza di popolazione tra i due stati. L'NMR ha una discreta sensibilità, dal momento che è in grado di rilevare differenze di popolazioni molto piccole. È il fenomeno della risonanza, ovvero lo scambio di energia ad una frequenza specifica tra gli spin e lo spettrometro a fornire all'NMR questa sensibilità.

Altri due fattori influenzano il segnale in risonanza magnetica: l'abbondanza naturale dell'isotopo e l'abbondanza biologica. L'abbondanza naturale di un isotopo è la percentuale di nuclei aventi un dato numero di protoni e di neutroni, ovvero un dato peso atomico. Per l'idrogeno, ad esempio, ci sono tre isotopi: 1H, 2H e 3H. L'abbondanza naturale di 1H è del 99.985%. La tabella che segue elenca l'abbondanza naturale di alcuni dei nuclei studiati con l'MRI.

ElementoSimboloAbbondanza
Naturale
Idrogeno1H99.985
2H0.015
Carbonio13C1.11
Azoto14N99.63
15N0.37
Sodio23Na100
Fosforo31P100
Potassio39K93.1
Calcio43Ca0.145
 

L'abbondanza biologica è la percentuale di un determinato tipo di atomo all'interno del corpo umano.  La tabella che segue elenca l'abbondanza biologica di alcuni nuclei studiati con l'MRI.

ElementoAbbondanza
Biologica*
Idrogeno (H) 0.63
Carbonio (C) 0.094
Azoto (N) 0.015
Sodio (Na) 0.00041
Fosforo (P) 0.0024
Ossigeno (O) 0.26
Calcio (Ca) 0.0022
* Dato calcolato da .

Magnetizzazione macroscopica

È difficile descrivere l'NMR su scala microscopica. Risulta più conveniente la descrizione macroscopica. Il primo passaggio nello sviluppo della descrizione macroscopica è definire il pacchetto di spin. Il pacchetto di spin è un gruppo di spin che sono soggetti allo stesso campo magnetico. In questo esempio, un pacchetto di spin è rappresentato dagli spin presenti in ciascuna sezione della griglia.  

In ogni istante, il campo magnetico dovuto ad ogni pacchetto di spin può essere rappresentato come un vettore di magnetizzazione.  

L'intensità di ogni vettore di magnetizzazione è proporzionale alla differenza di popolazione tra i due stati di spin (N+ - N-).

La somma vettoriale dei vettori di magnetizzazione provenienti da tutti i pacchetti di spin è la magnetizzazione risultante (o magnetizzazione "netta"). Per descrivere l'imaging di risonanza magnetica è necessario d'ora in poi ragionare in termini di magnetizzazione risultante.  

Adottando un sistema di coordinate nel quale l'asse Z è lungo la direzione del campo magnetico esterno (sistema convenzionale di coordinate NMR), avremo che, all'equilibrio, anche il vettore di magnetizzazione risultante sarà lungo l'asse Z.  

Tempo di rilassamento spin-reticolo (T1)

All'equilibrio, il vettore di magnetizzazione risultante è posizionato lungo la direzione del campo magnetico statico Bo ed è chiamato magnetizzazione all'equilibrio Mo. In questa configurazione, la componente Z del vettore di magnetizzazione MZ è uguale a Mo. MZ è conosciuta come magnetizzazione longitudinale. In questo caso non c'è componente del vettore di magnetizzazione nel piano XY (magnetizzazione trasversale MXY).  

È possibile modificare l'intensità del vettore di magnetizzazione risultante esponendo il sistema di spin nucleari ad una energia di frequenza pari alla differenza di energia tra gli stati degli spin.
Se si cede sufficiente energia, è possibile saturare il sistema di spin ed ottenere MZ = 0. 

Al termine dell'eccitazione il sistema tende a ritornare alla sua condizione di equilibrio.  La costante di tempo che descrive il ritorno all'equilibrio della magnetizzazione longitudinale, MZ, è chiamata tempo di rilassamento spin-reticolo, T1. L'equazione che descrive questo fenomeno in funzione del tempo t è:

Mz = Mo ( 1 - e-t/T1

T1 è quindi definito come il tempo necessario per far si che la componente Z del vettore magnetizzazione riacquisti il 63% del suo valore iniziale.

Se il vettore di magnetizzazione risultante è posto lungo l'asse -Z, gradualmente ritornerà alla sua posizione di equilibrio sull'asse +Z ad una velocità regolata dal T1 L'equazione che descrive questo fenomeno in funzione del tempo t è:

Mz = Mo ( 1 - 2e-t/T1

Ancora una volta, il tempo di rilassamento spin-reticolo (T1) è il tempo necessario a ridurre la differenza tra la magnetizzazione longitudinale (MZ) e il suo valore di equilibrio di un fattore e.

Tempo di rilassamento spin-spin (T2)

Se il vettore di magnetizzazione ha una componente non nulla nel piano XY,   esso ruoterà attorno all'asse Z ad una frequenza uguale alla frequenza del fotone che ha causato la transizione tra i due livelli di energia. Questa frequenza è chiamata frequenza di Larmor   ed il relativo moto di rotazione del vettore di magnetizzazione, "precessione". Oltre a ruotare, la magnetizzazione risultante comincia a perdere fase poiché ognuno dei pacchetti di spin che la costituiscono è sottoposto ad un campo magnetico leggermente diverso e ruota ad una propria frequenza di Larmor. Più trascorre il tempo, maggiore è la differenza di fase. Nell'esempio che segue il vettore di magnetizzazione risultante è inizialmente sull'asse +Y. Per questo e per tutti gli altri casi in cui si parla di perdita di fase, si deve pensare a questo vettore come sovrapposizione di molti vettori più piccoli prodotti dai singoli pacchetti di spin.  

La costante di tempo che descrive il decadimento della magnetizzazione trasversale, MXY, è chiamata tempo di rilassamento spin-spin, T2.

MXY =MXY0 e-t/T2 

T2 è sempre minore o uguale a T1. La magnetizzazione risultante nel piano XY va a zero e allo stesso tempo la magnetizzazione longitudinale cresce finché lungo l'asse Z non si avrà di nuovo il valore Mo.  

In altre parole, il tempo di rilassamento spin-spin, T2, è il tempo necessario per far si che la magnetizzazione trasversale si riduca del 63%.

Qualsiasi magnetizzazione trasversale si comporta allo stesso modo: ruota attorno alla direzione di applicazione del campo magnetico e perde fase.   Il T1 regola la velocità di recupero della magnetizzazione longitudinale; il T2 la velocità con cui la magnetizzazione trasversale decade.

Nella sequenza precedente, per chiarezza, i processi T2 e T1 sono stati mostrati separatamente. In realtà, entrambi i processi accadono simultaneamente, con l'unica restrizione che T2 è sempre minore o al massimo uguale a T1.

Sono due i fattori che contribuiscono al decadimento della magnetizzazione trasversale:
1) interazioni molecolari (che portano ad un effetto molecolare detto T2 puro)
2) variazioni del campo magnetico statico Bo (che portano ad un effetto detto T2 di disomogeneità di campo).
La combinazione di questi due fattori è quella che realmente si verifica nel decadimento della magnetizzazione trasversale. La costante di tempo "combinata" è chiamata T2 star ed è contraddistinta dal simbolo T2*. La relazione tra il T2 derivante da processi molecolari e quello dovuto a disomogeneità di campo magnetico è la seguente:

1/T2* = 1/T2 + 1/T2 disomog

Sistemi di riferimento rotanti

Abbiamo appena visto il comportamento degli spin nel sistema di riferimento del laboratorio. Risulta conveniente introdurre un sistema di riferimento rotante attorno all'asse Z alla frequenza di Larmor. Distinguiamo questo sistema di coordinate che ruota dal sistema del laboratorio dagli apici apposti sui nomi degli assi X e Y, X' Y'. 

Un vettore di magnetizzazione che ruota alla frequenza di Larmor nel sistema del laboratorio appare stazionario in un sistema di riferimento rotante attorno all'asse Z. Nel sistema di riferimento rotante, il rilassamento del vettore di magnetizzazione Mz al suo valore di equilibrio sarà lo stesso che nel sistema di riferimento del laboratorio.

Un vettore di magnetizzazione trasversale che ruota attorno all'asse Z alla stessa velocità del sistema rotante apparirà stazionario in quest'ultimo.   Un vettore di magnetizzazione che viaggia più veloce, rispetto al sistema rotante, ruota in senso orario attorno all'asse Z.   Un vettore di magnetizzazione che viaggia più lento, rispetto al sistema rotante, ruota in senso anti-orario attorno all'asse Z.  

In un campione ci sono pacchetti di spin che viaggiano più velocemente e più lentamente rispetto al sistema rotante. Di conseguenza, quando la frequenza media del campione è uguale a quella del sistema di riferimento rotante, lo sfasamento di MX'Y' apparirà così.  

Eccitazione degli spin

In questa sezione vedremo come il trasferimento di energia da una sorgente esterna al sistema di spin viene realizzato mediante un campo magnetico variabile nel tempo che opera in aggiunta al campo magnetico statico Bo.

Una spira di filo metallico posta attorno all'asse X quando percorsa da una corrente continua produce un campo magnetico lungo l'asse X.   La stessa spira percorsa da una corrente alternata produce invece un campo magnetico che alterna la sua direzione.  

Nel sistema di riferimento rotante attorno all'asse Z ad una frequenza uguale a quella della corrente alternata, il campo magnetico lungo l'asse X' sarà costante, proprio come nel caso di una corrente continua nel sistema del laboratorio.   Lo stesso risultato si otterrebbe muovendo la bobina attorno al sistema di riferimento rotante alla frequenza di Larmor.

In risonanza magnetica, il campo magnetico creato dalla bobina attraversata da una corrente alternata alla frequenza di Larmor è chiamato campo magnetico B1. Quando la corrente alternata viene accesa e spenta, si crea un campo magnetico pulsato B1 lungo l'asse X'. Gli spin rispondono a questo impulso con una rotazione del vettore di magnetizzazione attorno alla direzione cui è applicato il campo magnetico B1. L'angolo di rotazione ϑ (flip-angle in inglese) dipende dall'intervallo di tempo τ in cui il campo magnetico B1 è acceso e dalla sua intensità:

ϑ= 2π γ B1τ

(nei nostri esempi assumeremo τ essere molto più piccolo di T1 e T2).

Un impulso a 90° ruota la magnetizzazione all'equilibrio nel piano X'Y'.   Nel sistema di riferimento del laboratorio la magnetizzazione all'equilibrio descrive una spirale attorno all'asse Z fino al piano XY.   Ci si può ora rendere conto del perché il sistema di riferimento rotante è utile nel descrivere il comportamento della magnetizzazione in risposta ad un campo magnetico pulsato.

Un impulso a 180° ruota la magnetizzazione all'equilibrio fino all'asse -Z (anche detto impulso di inversione).  

La magnetizzazione risultante, a partire da qualsiasi orientamento, si comporterà secondo l'equazione di rotazione. Per esempio, un vettore di magnetizzazione lungo l'asse Y' finirà lungo l'asse -Y' se su di esso agirà un impulso di B1 a 180° diretto lungo l'asse X'.  

Un vettore di magnetizzazione tra X' e Y' finirà tra X' e -Y' dopo l'applicazione di un impulso di B1 a 180° applicato lungo l'asse X'.  

Per predire il risultato di una rotazione possiamo far uso di una matrice di rotazione; se ϑ è l'angolo di rotazione attorno all'asse X', [ X', Y', Z ] le coordinate iniziali del vettore e [ X", Y", Z" ] le coordinate del vettore dopo la rotazione, si ha:

Nel seguito faremo riferimento a brevi attivazioni e variazioni del campo magnetico B1 in termini di impulsi di radiofrequenza o impulsi RF.

Rilassamento degli spin

A che cosa è dovuto il rilassamento degli spin?  Il rilassamento degli spin è causato da moti molecolari in soluzione che originano campi magnetici variabili nel tempo.  

Campi che variano nel tempo alla frequenza di Larmor causano transizioni tra gli stati di spin e dunque una variazione di MZ, con un meccanismo del tutto analogo a quello che si verifica in presenza di impulsi di radiofrequenza inviati dall'esterno. (Osservate in questa animazione il campo magnetico visto dall'idrogeno "verde" della molecola di acqua quando ruota attorno ad un campo magnetico esterno Bo e un campo magnetico prodotto dall'idrogeno "blu";   si noti che il campo visto dall'idrogeno "verde" è sinusoidale).

In un "generico" campione di molecole vi sarà sempre una distribuzione di frequenze di rotazione. Le frequenze uguali alla frequenza di Larmor avranno effetto sul T1 e, dal momento che la frequenza di Larmor è proporzionale a Bo, il T1 varierà in funzione dell'intensità del campo magnetico.  Il tempo di rilassamento T1 è inversamente proporzionale alla densità dei moti molecolari alla frequenza di Larmor.

La distribuzione delle frequenze di rotazione dipende anche dalla temperatura e dalla viscosità della soluzione. Il T1, quindi, varierà in funzione della temperatura.  Alla frequenza di Larmor, indicata con νo, il valore di T1 a 280 K è minore del T1 a 340 K. La temperatura del corpo umano non varia in maniera tale da influenzare significativamente il T1. La viscosità, invece, varia significativamente da tessuto a tessuto e influenza il T1, come è possibile vedere nel seguente grafico del moto molecolare.  

I campi magnetici variabili nel tempo, in grado di perturbare i livelli di energia degli stati di spin, sono anche causa del defasamento della magnetizzazione trasversale. In questo caso vi è una perdita della coerenza di fase del sistema di spin dovuta a disomogeneità di campo magnetico "interne" al sistema stesso. (Osservate il grafico del campo Bo subito dagli idrogeni "rossi" delle seguenti molecole di acqua  ). Il tempo di rilassamento T2 risulta maggiormente affetto dai moti molecolari a bassa frequenza, per cui è inversamente proporzionale al numero di moti molecolari con frequenza minore o uguale alla frequenza di Larmor.

In generale, i tempi di rilassamento si allungano all'aumentare di Bo perché nei moti casuali delle molecole sono presenti meno componenti in frequenza che causano rilassamento.

Equazioni di Bloch

Le equazioni di Bloch sono un insieme di equazioni differenziali che possono essere usate per descrivere il comportamento di un vettore di magnetizzazione in ogni condizione.  Quando propriamente integrate, le equazioni di Bloch forniscono le componenti X', Y' e Z della magnetizzazione come funzioni del tempo.


Esercizi

  1. Molti apparecchi di risonanza magnetica operano con un campo magnetico di intensità 1.5 Tesla. Alcune unità per scopi di ricerca operano a 4.7 Tesla. Qual è la frequenza di risonanza dei nuclei elencati di seguito per ciascuna intensità di campo?
  2. 1H
    23Na
    31P

  3. Qual è l'energia del fotone assorbito da un nucleo 1H in un campo magnetico di 1.5 Tesla? Come si confronta, in energia, con un raggio X di frequenza 2x1019 Hz? Qual è il potenziale di ionizzazione per una tipica molecola organica? Quale dei due fotoni ionizzerà la molecola?  
  4. Sulla base della statistica di Boltzmann, quale molecola dell'esercizio 1 avrà il segnale più grande? A quale intensità di campo si avrà il segnale più grande? Sulla base dell'abbondanza naturale e biologica quale nucleo avrà il segnale più grande?  
  5. Un campione ha un T1 di 1.0 secondo. Se la magnetizzazione risultante è posta uguale a zero, quale sarà il tempo richiesto affinché la magnetizzazione risultante recuperi il 98% del suo valore di equilibrio?  
  6. Un campione ha un T2 di 100 ms. Qual è il tempo necessario affinché una qualsiasi magnetizzazione trasversale decada al 37% del suo valore iniziale?  
  7. Un campione di idrogeno è all'equilibrio in un campo magnetico da 1.5 Tesla. Un campo magnetico costante B1 di 1.17x10-4 Tesla è applicato lungo l'asse +X' per 50 microsecondi. Qual è la direzione del vettore di magnetizzazione risultante dopo che il campo B1 è terminato?  
  8. Valutate la costante tempo rilassamento spin-reticolo basandovi sul seguente grafico di Mz(t).

     

  9. Alcuni dei primi apparecchi di risonanza magnetica operavano con una intensità di campo magnetico di 0.3 Tesla. Molti apparecchi attualmente operano a 1.5 Tesla. Qual è la frequenza di risonanza dei nuclei elencati di seguito in ognuno dei campi magnetici?

    1H
    23Na
    31P
  10. Qual è l'energia del fotone assorbito da un nucleo di 1H in un campo magnetico da 1.5 Tesla? Come si confronta questo valore con quello di un raggio X di frequenza pari a 2x1019 Hz? Qual è il potenziale di ionizzazione per una tipica molecola organica? Quale dei due fotoni ionizzerà la molecola?

  11. Sulla base della statistica di Boltzmann, quale molecola della domanda 1 avrà il segnale più grande? A quale intensità di campo si avrà il segnale più grande? Sulla base dell'abbondanza naturale e biologica quale nucleo avrà il segnale più grande?

  12. Un campione ha un T1 di 0.8 secondi. La magnetizzazione risultante del campione è posta uguale a zero e quindi viene lasciata recuperare il suo valore di equilibrio. Dopo 1.0 secondo quale frazione del valore di magnetizzazione di equilibrio sarà presente?

  13. Un campione ha un T2 di 50 ms. La magnetizzazione risultante è ruotata nel piano xy e lasciata decadere. Quanta magnetizzazione trasversale sarà presente dopo 20 ms?

  14. Un campione di idrogeno si trova all'equilibrio in un campo magnetico da 1.5 Tesla. Un campo costante B1 di 2.34x10-4 Tesla viene applicato lungo l'asse +x' per 25 microsecondi. Qual è la direzione del vettore di magnetizzazione risultante dopo che il campo B1 è terminato?


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