Principios Básicos de IRM

Capítulo 2

NOCIONES BASICAS DE MATEMATICA PARA RMN



Logaritmos y Decibeles

Los científicos utilizan muchas formas abreviadas para representar números. Estas representaciones facilitan al científico el cálculo o la representación de un número. El logaritmo (log) de un número x se define mediante las siguientes ecuaciones. Si

x = 10y

entonces

log(x) = y.

Como veremos en la próxima sección, no siempre los logaritmos tienen base de potencia 10.

Los logaritmos son útiles, en parte, porque facilitan algunas operaciones. Por ejemplo,

log(x) + log(y) = log(xy)
log(x) - log(y) = log(x/y)
log(1/x) = log(x-1) = -log(x)
log(xy) = y log(x)

Una aplicación útil de los logaritmos en base diez es el concepto de decibel. Un decibel es una representación logarítmica del cociente entre dos cantidades. Para el cociente entre dos niveles de potencia (P1 y P2), un decibel (dB) se define como

dB = 10 log(P1/P2).

A veces, resulta necesario calcular decibeles a partir de mediciones de voltaje. La relación entre potencia (P) y voltaje (V) es

P = V2/R

donde R es la resistencia del circuito, que generalmente es constante. Sustituyendo esta ecuación en la definición de dB, tenemos que

dB = 10 log((V21/R)/(V22/R))
dB = 10 log((V21)/(V22))
dB = 10 log((V1)/(V2))2
db = 20 log(V1/V2).

Funciones Exponenciales

El número 2.71828183 aparece muy frecuentemente en los cálculos, por eso se le asigna el símbolo e. Cuando e se eleva a la potencia x, se suele escribir exp(x).

ex = exp(x) = 2.71828183x

Los logaritmos en base e se denominan logaritmos naturales. Si

x = ey

entonces

ln(x) = y,

Muchos de los procesos dinámicos en IRM son de naturaleza exponencial. Por ejemplo, las señales decaen exponencialmente en función del tiempo (t). Por lo tanto, es esencial comprender la naturaleza de las curvas exponenciales. Tres funciones exponenciales típicas son

y = e-t/τ 
y = (1 - e-t/τ
y = (1 - 2e-t/τ

donde τ es una constante. 

Funciones Trigonométricas 90º

Las funciones trigonométricas básicas seno  y coseno  describen funciones sinusoidales que están desfasadas 90o entre sí.

Las identidades trigonométricas se utilizan para cálculos geométricos.  

Sin(θ) = Opposite / Hypotenuse
Cos(θ) = Adjacent / Hypotenuse
Tan(θ) = Opposite / Adjacent

Csc(θ) = 1 / Sin(θ) = Hypotenuse / Opposite
Sec(θ) = 1 / Cos(θ) = Hypotenuse / Adjacent
Cot(θ) = 1 / Tan(θ) = Adjacent / Opposite

Tres identidades adicionales son útiles para comprender como opera el detector de un equipo de imágenes por resonancia magnética.

Cos(θ1) Cos(θ2) = 1/2 Cos(θ1 - θ2) + 1/2 Cos(θ1 + θ2)

Sin(θ1) Cos(θ2) = 1/2 Sin(θ1 + θ2) + 1/2 Sin(θ1 - θ2)

Sin(θ1) Sin(θ2) = 1/2 Cos(θ1 - θ2) - 1/2 Cos(θ1 + θ2)

La función sen(x)/x aparece a menudo y se denomina sinc(x).  

Diferenciales e Integrales

Un diferencial puede ser considerado como la pendiente de una función en cualquier punto. Para la función

el diferencial de y con respecto a x es

Una integral es el área bajo la curva de la función, entre los límites de la integral.

Una integral se puede considerar también como una sumatoria; en realidad, la mayoría de las integraciones se realizan por computadora, sumando los valores de la función entre los límites de integración.  

Vectores

Un vector es una cantidad que tiene magnitud y dirección. .  La magnetización de los espines nucleares se representa mediante un vector que parte del origen del sistema de coordenadas. Aquí, es a lo largo del eje Z+.  En este dibujo,  el vector está en el plano XY, entre los ejes X+ y Y+. El vector tiene componentes de X e Y, y una magnitud igual a

( X2 + Y2)1/2

Matrices

Una matriz es un conjunto de números dispuestos en filas y columnas.   La siguiente matriz tiene 3 filas y 4 columnas, y se conoce como matriz de 3 por 4.

Para multiplicar matrices, el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz.  Haga clic sobre los siguientes botones para ver los pasos individuales asociados a la multiplicación.     

Matrices de Rotación

Una matriz de rotación, Ri(θ), es una matriz de tres por tres que rota la ubicación de un vector V sobre el eje i a una nueva ubicación V'.

[V'] = [Ri(θ)] [V].

Las matrices de rotación son útiles en resonancia magnética para determinar la ubicación del vector de magnetización luego de la aplicación de un pulso de rotación o después de un período de evolución. Utilizando el sistema de coordenadas convencional en resonancia magnética, que presentaremos en el , Capítulo 3, las tres matrices de rotación son las siguientes.

RX(θ)

RY(θ)

RZ(θ)

Transformación de Coordenadas

La transformación de coordenadas se utiliza para convertir las coordenadas de un sistema de coordenadas (XY) en otro sistema de coordenadas (X"Y").  

La transformación de coordenadas se realiza con una o más matrices de rotación. Por ejemplo, si en un nuevo sistema de coordenadas se rota 10 grados el eje Z+ en sentido horario y luego 20 grados el eje X+ en sentido horario, la posición del vector, V, en el nuevo sistema de coordenadas, V', se puede calcular mediante

[V'] = [R+X(θ=20)] [R+Z(θ=10)] [V].

Convolución

La convolución de dos funciones es la superposición de las dos funciones, a medida que una función pasa sobre la otra.  El símbolo de convolución es  . La convolución de h(t) y g(t) se define matemáticamente como

Esta ecuación se grafica en la siguiente animación, utilizando dos funciones rectangulares, h(t) y g(t).  

Números imaginarios

Los números imaginarios provienen de cálculos que involucran la raíz cuadrada de -1. Los números imaginarios se simbolizan mediantei.

Un número complejo tiene una parte real (RE) y una imaginaria (IM). Las componentes real e imaginaria de un número complejo son ortogonales entre sí

Las siguientes dos relaciones entre números complejos y exponenciales son muy útiles

e+ix = cos(x) +isin(x)
y
e-ix = cos(x) -isin(x).

La cantidad e+ix se conoce como el conjugado de e-ix. En otras palabras, el conjugado de un número complejo es el número con la componente imaginaria cambiada de signo.

Transformada de Fourier

La transformada de Fourier (FT) es una técnica matemática utilizada para convertir datos que están en el dominio del tiempo al dominio de la frecuencia, y viceversa.  

La Transformada de Fourier se explicará en detalle en el Capítulo 5.


Problemas

  1. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 5cm, y los restantes dos lados miden 3 cm y 4 cm. ¿Cuánto mide el ángulo opuesto al lado de 3 cm?  

  2. ¿Cuál es la integral de y, entre 0 y 5, para y = 3x2 + 3?  

  3. ¿Cuál es la pendiente de la función y = 3x2 + 3 a x = 2 ? 

  4. ¿Cuál es el producto de eiA con eiB

  5. Se tienen datos de laboratorio que tiene la forma de la función y = e-x/t y = e-x/t. ¿Qué dibujaría en función de x para obtener una relación lineal?  

  6. ¿Cuál es el producto entre estas dos matrices?   


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