ОСНОВЫ МРТ

Глава 2

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЯМР



Экспоненциальные функции

Число 2.711828183 при расчетах встречается настолько часто, что ему был присвоен символ e. Когда e возводится в степень x, то это обычно записывается в виде exp(x).

ex = exp(x) = 2.71828183x

Логарифмы по основанию e называются натуральными логарифмами. Если

x = ey

тогда

ln(x) = y,

Многие динамические МРТ процессы по природе являются экспоненциальными функциями. Например, сигналы затухают как экспоненциальная функция от времени. Поэтому важно понимать природу экcпоненциальных кривых. Вот три простых экспоненциальных функции

y = e-x/t
y = (1 - e-x/t)
y = (1 - 2e-x/t)
где t является константой.

Тригонометрические функции

Основные тригонометрические функции синус и косинус описывают синусоидальные функции, которые отличаются по фазе на 90o.

Тригонометрические тождества используются в геометрических вычислениях.

Sin() = Противолежащий / Гипотенуза
Cos() = Прилежащий / Гипотенуза
Tan() = Противолежащий / Прилежащий

Следующие тождества будут полезны для понимания работы детектора магнитно-резонансного томографа.

Cos(q1) Cos(q2) = 1/2 Cos(q1 - q2) + 1/2 Cos(q1 + q2)

Sin(q1) Cos(q2) = 1/2 Sin(q1 + q2) + 1/2 Sin(q1 - q2)

Sin(q1) Sin(q2) = 1/2 Sin(q1 - q2) - 1/2 Cos(q1 + q2)

Часто встречающаяся функция sin(x) / x получила название sinc(x).

Дифференциалы и интегралы

Дифференциал можно представить как наклон функции в любой точке. Для функции


дифференциалом у по отношению к х является

Интегралом является площадь под функцией между пределами интеграла.


Интеграл можно рассматривать как сумму; фактически, большая часть интегрирования производится компьютерами путем сложения значений функции между пределами интегрирования.

Вектора

Вектором является число, имеющее как величину, так и направление. Намагниченность от ядерных спинов представлена как вектор, направленный из начала системы координат. Он направлен вдоль оси +Z.

На рисунке вектор находится в плоскости XY между осями +X и +Y. Этот вектор имеет X и Y составляющие и величину равную

( X2 + Y2 )1/2

Матрицы

Матрица - это набор чисел, расположенных в прямоугольной таблице. Данная матрица имеет 3 строки и 4 столбца и называется матрицей 3 на 4.

Для перемножения двух матриц, число столбцов первой должно равняться числу строк во второй. Чтобы увидеть последовательность действий при умножении, поочередно щелкните на каждой кнопке.

Преобразования координат

Преобразования координат используются для перевода координат вектора из одной системы координат (XY) в другую (X"Y").

Свертывание

Свертывание двух функций есть перекрывание функций при прохождении одной над другой. Свертывание обозначается символом . Свертывание h(t) и g(t) математически определяется как

На следующей анимации, вышеуказанное уравнение проиллюстрировано для прямоугольных функций h(t) и g(t).

Комплексные числа

Комплексными числами являются те числа, которые получаются в результате вычислений, использующих корень квадратный из -1. Комплексные числа обозначаются символом i.

Комплексное число имеет действительную (RE) и мнимую (IM) часть. Действительная и мнимая части комплексного числа являются ортогональными.

Между комплексными числами и экспонентами существуют две полезных зависимости:

e+ix = cos(x) +isin(x) и
e-ix = cos(x) -isin(x).

Число e+ix называется комплекно сопряженным числом от e-ix. Другими словами комплекно сопряженным числом комплексного числа является число с измененным знаком мнимой части.

Преобразования Фурье

Преобразование Фурье - это математический метод для преобразования временных характеристик в частотные и обратно.

Преобразование Фурье будет подробно рассмотрено в главе 5.


Контрольные вопросы

  1. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см, а катеты 3 см и 4 см. Чему равен угол, противоположный катету длиной 3 см?
  2. Чему равен интеграл y между от 0 до 5, где y = 3x2 + 3 ?
  3. Чему равен угловой коэффициент функции y = 3x2 + 3 в x = 2 ?
  4. Чему равно произведение eiA на eiB ?
  5. Имеются лабораторные данные, которые представляют собой функциональную форму уравнения y=e-x/t. Какую функцию от x можно построить, чтобы сделать данные линейными?
  6. Чему равно произведение двух матриц?

Перейти к: [следующей главе | началу главы | предыдущей главе | титульному листу ]

Copyright © 1996-99 J.P. Hornak.
All Rights Reserved.