The Basics of MRI

Capitolo 2

LA MATEMATICA DELL'NMR



Logaritmi e decibel

Gli studiosi hanno molti modi per rappresentare i numeri. Queste rappresentazioni rendono più facile l'effettuazione di calcoli o la rappresentazione di un risultato.
Il logaritmo (log) di un numero x è definito dalla seguente equazione. Se

x = 10y

allora

log(x) = y.

Vedrete nel prossimo paragrafo che i logaritmi non necessitano essere basati sulle potenze di 10.

I logaritmi sono utili, tra l'altro, per alcune loro proprietà:

log(xy) = log(x) + log(y)
log(x/y) = log(x) - log(y)
log(1/x) = log(x-1) = -log(x)
log(xy) = y log(x).

Un'utile applicazione dei logaritmi in base 10 è il concetto di decibel. Il decibel è una rappresentazione logaritmica del rapporto tra due quantità. Per il rapporto tra due livelli di potenza (P1 e P2) il decibel (dB) è definito come pari a 10 volte il logaritmo del loro rapporto:

dB = 10 log(P1/P2).

Talvolta, in un circuito elettrico, è necessario calcolare il rapporto in decibel di due livelli di potenza da misure di tensione. La relazione tra la tensione (V) ai capi della resistenza R del circuito (considerata costante) e la potenza (P) sviluppata è:

P = V2/R.

Sostituendo questa relazione nella definizione di decibel, abbiamo:

dB = 10 log((V21/R)/(V22/R))
dB = 10 log((V21)/(V22))
dB = 10 log((V1)/(V2))2
dB = 20 log(V1/V2).

(L'esprimere il rapporto in decibel tra due livelli di potenza in termini di grandezze cui la potenza è legata da una relazione quadratica introduce un fattore 20).

Funzioni esponenziali

Il numero 2.71828183 ricorre così spesso nei calcoli che è rappresentato dal simbolo e. Quando e è elevato a potenza x, si è soliti scrivere exp(x).

ex = exp(x) = 2.71828183x

I logaritmi in base e sono chiamati logaritmi naturali. Se

x = ey

allora

ln(x) = y,

Molti processi dell'MRI dinamico sono di natura esponenziale. Per esempio, i segnali decadono in maniera esponenziale in funzione del tempo. È dunque essenziale conoscere il tipo di curva esponenziale. Tre funzioni esponenziali notevoli sono

y = e-t/τ 
y = (1 - e-t/τ
y = (1 - 2e-t/τ

dove τ è una costante. 

Funzioni trigonometriche

Le funzioni trigonometriche di base, seno  e coseno , descrivono funzioni sinusoidali tra loro sfasate di 90o.

Le identità trigonometriche sono usate nei calcoli geometrici.  

Sin(ϑ) = lato opposto all'angolo / ipotenusa
Cos(ϑ) = lato adiacente all'angolo / ipotenusa
Tan(ϑ) = lato opposto all'angolo / lato adiacente all'angolo

Cosec(ϑ) = 1 / Sin(ϑ) = ipotenusa / lato opposto all'angolo
Sec(ϑ) = 1 / Cos(ϑ) = ipotenusa / lato adiacente all'angolo
Cot(ϑ) = 1 / Tan(ϑ) = lato adiacente all'angolo / lato opposto all'angolo

Tre ulteriori identità sono utili per capire come opera il rivelatore di una apparecchiatura per imaging di risonanza magnetica.

Cos(ϑ1) Cos(ϑ2) = 1/2 Cos(ϑ1 - ϑ2) + 1/2 Cos(ϑ1 + ϑ2)

Sin(ϑ1) Cos(ϑ2) = 1/2 Sin(ϑ1 - ϑ2) + 1/2 Sin(ϑ1 + ϑ2)

Sin(ϑ1) Sin(ϑ2) = 1/2 Cos(ϑ1 - ϑ2) - 1/2 Cos(ϑ1 + ϑ2)

La funzione sin(x) / x ricorre spesso ed è chiamata sinc(x). 

Differenziali e Integrali

Un differenziale può essere pensato come la pendenza di una curva in ogni suo punto. Per la funzione

il differenziale di y rispetto a x è

Un integrale è l'area sottesa da una curva tra i limiti dell'integrale.

Un integrale può inoltre essere considerato come una sommatoria; infatti la maggior parte delle integrazioni sono fatte per mezzo di un computer addizionando tra loro i valori della funzione tra i limiti dell'integrale. 

 

Vettori

Un vettore è una grandezza che ha, allo stesso tempo, una intensità (o modulo), una direzione e un verso.  La magnetizzazione degli spin del nucleo è normalmente rappresentata come un vettore avente origine nell'origine del sistema di riferimento. Di seguito è mostrato un vettore lungo l'asse +Z.  In quest'altra figura   il vettore è nel piano XY tra gli assi +X e +Y. Il vettore ha componenti X e Y e modulo uguale a

( X2 + Y2)

Fissato il sistema di riferimento, un vettore è completamente descritto dalle sue componenti.

Matrici

Una matrice è un insieme di numeri disposti secondo righe (orizzontali) e colonne (verticali).  Questa matrice ha 3 righe e 4 colonne ed è chiamata matrice 3x4.

Per poter moltiplicare due matrici è necessario che il numero delle colonne della prima matrice sia uguale al numero di righe della seconda.  Clicca in sequenza sui prossimi pulsanti per vedere singolarmente i passi di un'operazione di moltiplicazione.    

Matrici di rotazione

Una matrice di rotazione, Ri(θ), è una matrice 3x3 che descrive la rotazione di un angolo θ di un vettore V attorno all'asse i. Le componenti del vettore ruotato V' sono date dalla relazione:

[V'] = [Ri(θ)] [V].

Le matrici di rotazione sono utili in MRI per determinare la posizione del vettore di magnetizzazione dopo l'applicazione di un impulso di rotazione o dopo un periodo di evoluzione. Le tre matrici di rotazione rispetto ad un sistema di riferimento convenzionale, che sarà introdotto nel Capitolo 3, sono le seguenti:

RX(θ)

RY(θ)

RZ(θ)

Trasformazioni di coordinate

Una trasformazione di coordinate è utilizzata per convertire le coordinate di un vettore da un sistema di coordinate (XYZ) ad un altro (X"Y"Z").  Mostriamo di seguito una trasformazione nel caso in cui l'asse Z coincida con Z".

Una trasformazione di coordinate può essere descritta con una o più matrici di rotazione. Per esempio, se il nuovo sistema di coordinate è ruotato di 10 gradi in senso orario attorno all'asse +Z e poi di 20 gradi in senso orario attorno all'asse +X, la posizione del vettore, V, nel nuovo sistema di coordinate, V', può essere calcolata con la formula

[V'] = [R+X(θ=20)] [R+Z(θ=10)] [V].

Convoluzione

La convoluzione è la sovrapposizione di due funzioni mentre una "scorre" sopra l'altra.   Il simbolo dell'operazione di convoluzione è . Matematicamente la convoluzione di h(t) e g(t) è definita come

In questa animazione l'operazione di convoluzione è mostrata nel caso in cui h(t) e g(t) siano delle funzioni di forma rettangolare.  

Numeri immaginari

I numeri immaginari sono quelli che risultano da calcoli che interessano la radice quadrata di -1. I numeri immaginari sono espressi con il simbolo i.

Un numero complesso è un numero che ha una parte reale (RE) e una parte immaginaria (IM). La parte reale e la parte immaginaria di un numero complesso sono ortogonali.

Due utili relazioni tra i numeri complessi e i numeri esponenziali sono

e+ix = cos(x) +isin(x)
e
e-ix = cos(x) -isin(x).

La quantità e+ix è detta complesso coniugato di e-ix. In altre parole, il complesso coniugato di un numero complesso è un numero con il segno della componente immaginaria cambiato.

La trasformata di Fourier

La trasformata di Fourier (FT) è una tecnica matematica per convertire dei dati dal dominio del tempo al dominio della frequenza, e viceversa. 

La trasformata di Fourier verrà trattata in dettaglio nel Capitolo 5.


Esercizi

  1. In un triangolo rettangolo l'ipotenusa è 5 cm e i rimanenti lati sono 3 cm e 4 cm. Quanto misura l'angolo opposto al lato lungo 3 cm?  
  2. Qual è l'integrale di y tra 0 e 5 se y = 3x2 + 3 ? 
  3. Qual è la pendenza della funzione y = 3x2 + 3 nel punto x = 2 ? 
  4. Qual è il prodotto di eiA con eiB
  5. Avete dei dati di laboratorio sottoforma di funzione y = e-x/t. Che cosa potreste graficare come funzione della x per ottenere una relazione lineare? 
  6. Qual è il prodotto di queste due matrici?  

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