The Basics of MRI

Capitolo 2

LA MATEMATICA DELL'NMR



Logaritmi e decibel

Gli studiosi hanno molti modi per rappresentare i numeri. Queste rappresentazioni rendono più facile l'effettuazione di calcoli o la rappresentazione di un risultato.
Il logaritmo (log) di un numero x è definito dalla seguente equazione. Se

x = 10y

allora

log(x) = y.

Vedremo nel prossimo paragrafo che i logaritmi non necessitano di essere basati sulle potenze di 10.

I logaritmi sono utili, tra l'altro, per alcune loro proprietà:

log(xy) = log(x) + log(y)
log(x/y) = log(x) - log(y)
log(1/x) = log(x-1) = -log(x)
log(xy) = y log(x).

Un'utile applicazione dei logaritmi in base 10 è il concetto di decibel. Il decibel è una rappresentazione logaritmica del rapporto tra due quantità. Per il rapporto tra due livelli di potenza (P1 e P2) il decibel (dB) è definito come pari a 10 volte il logaritmo del loro rapporto:

dB = 10 log(P1/P2).

Talvolta, in un circuito elettrico, è necessario calcolare il rapporto in decibel di due livelli di potenza da misure di tensione. La relazione tra la tensione (V) ai capi della resistenza R del circuito (considerata costante) e la potenza (P) sviluppata è:

P = V2/R.

Sostituendo questa relazione nella definizione di decibel, abbiamo:

dB = 10 log((V21/R)/(V22/R))
dB = 10 log((V21)/(V22))
dB = 10 log((V1)/(V2))2
dB = 20 log(V1/V2).

(L'esprimere il rapporto in decibel tra due livelli di potenza in termini di grandezze cui la potenza è legata da una relazione quadratica introduce un fattore 20).

Funzioni esponenziali

Il numero 2.71828183 ricorre così spesso nei calcoli che è rappresentato dal simbolo e. Quando e è elevato a potenza x, si è soliti scrivere exp(x).

ex = exp(x) = 2.71828183x

I logaritmi in base e sono chiamati logaritmi naturali. Se

x = ey

allora

ln(x) = y

Molti processi dell'MRI sono di natura esponenziale. L'andamento esponenziale è tipico di funzioni che crescono o decrescono molto rapidamente. I segnali NMR, per esempio, decadono in maniera esponenziale in funzione del tempo (t).

Funzioni esponenziali notevoli sono:

y = e-t/τ 
(esponenziale decrescente)
y = (1 - e-t/τ
(esponenziale crescente)
y = (1 - 2e-t/τ

dove τ è una costante detta costante di tempo del processo esponenziale. 

Funzioni trigonometriche

Le funzioni trigonometriche di base, seno  e coseno , descrivono funzioni sinusoidali tra loro sfasate di 90°.

Nei calcoli geometrici vengono usate le seguenti identità trigonometriche:  

sen(ϑ) = lato opposto all'angolo / ipotenusa
cos(ϑ) = lato adiacente all'angolo / ipotenusa
tan(ϑ) = lato opposto all'angolo / lato adiacente all'angolo

cosec(ϑ) = 1 / sen(ϑ) = ipotenusa / lato opposto all'angolo
sec(ϑ) = 1 / cos(ϑ) = ipotenusa / lato adiacente all'angolo
cot(ϑ) = 1 / tan(ϑ) = lato adiacente all'angolo / lato opposto all'angolo

Le seguenti identità, invece, sono utili per capire come opera il rivelatore di una apparecchiatura per imaging di risonanza magnetica:

cos(ϑ1) cos(ϑ2) = 1/2 cos(ϑ1 - ϑ2) + 1/2 cos(ϑ1 + ϑ2)

sen(ϑ1) cos(ϑ2) = 1/2 sen(ϑ1 - ϑ2) + 1/2 sen(ϑ1 + ϑ2)

sen(ϑ1) sen(ϑ2) = 1/2 cos(ϑ1 - ϑ2) - 1/2 cos(ϑ1 + ϑ2)

La funzione sen(x) / x ricorre spesso ed è chiamata sinc(x). 

Differenziali e Integrali

Un differenziale può essere pensato come la pendenza di una curva in ogni suo punto. Per la funzione

il differenziale di y rispetto a x è

Un integrale è l'area sottesa da una curva tra i limiti di integrazione.

L'operazione di integrale può anche essere pensata come una sommatoria; la maggior parte delle integrazioni, infatti, sono calcolate numericamente per mezzo di un computer sommando tra loro i valori della funzione tra i limiti di integrazione. 

Vettori

Un vettore è una grandezza che ha, allo stesso tempo, una intensità (o modulo), una direzione e un verso.  La magnetizzazione degli spin del nucleo è normalmente rappresentata da un vettore avente origine nell'origine del sistema di riferimento. Di seguito è mostrato un vettore lungo l'asse +Z.  In quest'altra figura  il vettore è nel piano XY tra gli assi +X e +Y. Il vettore ha componenti [x, y] e modulo uguale a

( x2 + y2)

Fissato il sistema di riferimento, un vettore è completamente descritto dalle sue componenti.

Matrici

Una matrice è un insieme di numeri disposti in modo da formare una tabella con m righe ed n colonne.  Questa matrice ha 3 righe e 4 colonne ed è chiamata matrice 3x4.

Le matrici sono utili in MRI per determinare la posizione del vettore di magnetizzazione dopo l'applicazione di un impulso di rotazione o dopo un periodo di evoluzione. La rotazione di un angolo θ di un vettore V' attorno all'asse i può essere descritta da una matrice 3x3 detta matrice di rotazione, Ri(θ). Le componenti del vettore ruotato V si ottengono dalla relazione:

[V] = [Ri(θ)] [V']

Le rotazioni rispetto agli assi di un sistema di riferimento convenzionale sono descritte dalle seguenti matrici 3x3:

RX(θ)

RY(θ)

RZ(θ)

Trasformazioni di coordinate

Una trasformazione di coordinate è utilizzata per convertire le coordinate di un vettore da un sistema di coordinate (XYZ) ad un altro (X"Y"Z").  Mostriamo di seguito una trasformazione nel caso di una rotazione del piano XY.

Una trasformazione di coordinate può essere descritta con una o più matrici di rotazione. Per esempio, se il nuovo sistema di coordinate è ruotato di 10 gradi in senso orario attorno all'asse +Z e poi di 20 gradi in senso orario attorno all'asse +X, la posizione del vettore, V, nel nuovo sistema di coordinate può essere calcolata con la formula

[V] = [R+X(θ=20)] [R+Z(θ=10)] [V']

(In generale, per poter moltiplicare due matrici è necessario che il numero delle colonne della prima matrice sia uguale al numero di righe della seconda.  Cliccando in sequenza sui prossimi pulsanti si possono vedere singolarmente i passi di un'operazione di moltiplicazione.    )

Convoluzione

La convoluzione è la sovrapposizione di due funzioni mentre una "scorre" sopra l'altra.   Il simbolo dell'operazione di convoluzione è .  Matematicamente la convoluzione della funzione h(t) con la funzione g(t) è definita dall'integrale:

In questa animazione l'operazione di convoluzione è mostrata nel caso in cui h(t) e g(t) siano delle funzioni di forma rettangolare.  

Numeri complessi

Col termine numero complesso si fa riferimento ad un numero formato da una parte reale e da una parte immaginaria. I numeri immaginari sono quelli che risultano da calcoli che interessano la radice quadrata di -1; la loro introduzione si deve al fatto che non esistono numeri reali il cui quadrato sia negativo (si pensi alla soluzione di x2 + 1 = 0). I numeri immaginari sono espressi con il simbolo i.

La generica espressione di un numero complesso z è del tipo: z = x + iy. I due numeri reali x e y sono detti rispettivamente parte Reale (Re) e parte Immaginaria (Im). La rappresentazione geometrica di un numero complesso z è quella di un punto in un piano posto a distanza |z| (detta modulo) dall'origine degli assi e tale che il segmento congiungente il punto con l'origine formi con l'asse delle x un angolo θ (anche noto come fase), analogamente a quanto avviene in un sistema di coordinate polari. Il numero complesso x + iy risulta univocamente individuato dal modulo |z|=√(x2+y2) e dalla fase (θ) o equivalentemente dalle due componenti |z|cosθ e |z|senθ.

Le identità di Eulero:

e+iθ = cos(θ) +isen(θ)
e-iθ = cos(θ) -isen(θ)

permettono di riscrivere i numei complessi in forma esponenziale:

z = x + iy = |z|(cosθ + i senθ) = |z|e+iθ

La quantità e+iθ è detta complesso coniugato di e-iθ.   In altre parole, il complesso coniugato di un numero complesso è un numero con il segno della componente immaginaria cambiato.

In MRI i numeri complessi sono utili per descrivere il moto rotatorio dei vettori di magnetizzazione. L'espressione A(t)=A0eiωt rappresenta un vettore di lunghezza A0 che ruota ad una velocità angolare ω. Come vedremo, i dati registrati da un'apparecchiatura MRI sono in forma complessa.


Esercizi

  1. In un triangolo rettangolo l'ipotenusa è 5 cm e i rimanenti lati sono 3 cm e 4 cm. Quanto misura l'angolo opposto al lato lungo 3 cm?  
  2. Qual è l'integrale di y tra 0 e 5 se y = 3x2 + 3? 
  3. Qual è la pendenza della funzione y = 3x2 + 3 nel punto x = 2? 
  4. Qual è il prodotto di eiA con eiB
  5. Avete dei dati di laboratorio sottoforma di funzione y = e-x/t. Che cosa potreste graficare come funzione della x per ottenere una relazione lineare? 
  6. Qual è il prodotto di queste due matrici?  

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